Max e min vincolati

[MatDido92]

Quando devo cercare i max e min in una funzione con vincolo riesco a trovare i punti critici con la lagrangiana ma come si fa a determinarne la natura?
ad esempio poniamo che ho la funzione
$f(x,y)=x^2y^2$
e il vincolo
$g(x,y)=x^2+y^2-1=0$

ho trovato 4 punti critici che sono
A($sqrt(1/2)$,$sqrt(1/2)$,1/2)
B($sqrt(1/2)$,$-sqrt(1/2)$,1/2)
C($-sqrt(1/2)$,$sqrt(1/2)$,1/2)
D($-sqrt(1/2)$,$-sqrt(1/2)$,1/2)

Sono giusti si?Adesso come faccio a vedere quali sono max, quali minimi e quali selle?

Grazie anticipatamente

[Raptorista1]

Guarda che hai saltato dei punti critici!

Dovrebbe saltarti all'occhio il fatto che tutti i punti che hai scritto hanno la stessa quota, e siccome la funzione è continua questi non possono essere gli unici punti critici a meno che la funzione non sia costante, ma evidentemente non è il caso.

Questo ti dovrebbe convincere che ci sono altri punti critici, ora sta a te trovarli.

Se scrivi qualche conto posso darti dei suggerimenti.

[MatDido92]

Si hai ragione ce ne sono altri 4 se non sbaglio

E(0,1,0)
F(0,-1,0)
G(1,0,0)
H(-1,0,0)


e adesso come faccio a capire se son max min o selle?

[Raptorista1]

Siccome in questo caso la funzione è \(C^1\) [anche di più, ma per ora ci basta così] puoi fare considerazioni sull'ordine in cui li incontri percorrendo la curva [i.e. se hai un punto critico in mezzo a due punti critici con quota maggiore, questo è per forza un minimo, e così via].

In generale non ricordo se ci sono metodi basati sulla lagrangiana, ma a questo può rispondere meglio di me il tuo libro di testo.