Max e min sulla frontiera
Io ho che $f: D->RR$, $D={(x,y)inRR^2 : |y|
Mi calcolo il gradiente e noto che per i punti interni a $D$ non si annulla, per cui se ha punti di minimo o massimo sono sulla frontiera, cioè nelle restrizioni $I=D nn {(x,y)inRR^2 : y=x}$ e $G=D nn {(x,y)inRR^2 : y=-x}$.
Osservo che $f(x,y)_(|I)=f(x,y)_(|G)=x^2*e^x-x$
Ora a me verrebbe da applicare Weierstrass generalizzato su queste restrizioni, il limite a $+oo$ è $+oo$, e a $0^+$ è $0$, per cui non ammette massimo assoluto.
Poi però non so bene cos'altro fare e non so se l'ultimo passaggio è lecito...
Mi calcolo il gradiente e noto che per i punti interni a $D$ non si annulla, per cui se ha punti di minimo o massimo sono sulla frontiera, cioè nelle restrizioni $I=D nn {(x,y)inRR^2 : y=x}$ e $G=D nn {(x,y)inRR^2 : y=-x}$.
Osservo che $f(x,y)_(|I)=f(x,y)_(|G)=x^2*e^x-x$
Ora a me verrebbe da applicare Weierstrass generalizzato su queste restrizioni, il limite a $+oo$ è $+oo$, e a $0^+$ è $0$, per cui non ammette massimo assoluto.
Poi però non so bene cos'altro fare e non so se l'ultimo passaggio è lecito...
Risposte
Che massimo e minimo assoluti non ci siano si vede facile (infatti, fissato $y!=0$ hai $lim_(x\to +oo) f(x,y)=+oo$, mentre per $y=0$ trovi $lim_(x\to +oo) f(x,0)=-oo$).
Per i punti interni all'angolo $|y|<=x$, la questione pure l'hai risolta bene, perchè la funzione non ha punti critici nell'interno dell'angolo.
D'altra parte sulla frontiera, ossia per $y=pm x$ con $x>=0$, devi andare a guardare cosa succede alla funzione di una variabile $x\mapsto x^2"e"^x-x$ limitatamente all'insieme $x>=0$; ad occhio un punto critico dovrebbe esserci (in $[0,1]$ probabilmente).
Per i punti interni all'angolo $|y|<=x$, la questione pure l'hai risolta bene, perchè la funzione non ha punti critici nell'interno dell'angolo.
D'altra parte sulla frontiera, ossia per $y=pm x$ con $x>=0$, devi andare a guardare cosa succede alla funzione di una variabile $x\mapsto x^2"e"^x-x$ limitatamente all'insieme $x>=0$; ad occhio un punto critico dovrebbe esserci (in $[0,1]$ probabilmente).
"Gugo82":
Che massimo e minimo assoluti non ci siano si vede facile (infatti, fissato $y!=0$ hai $lim_(x\to +oo) f(x,y)=+oo$, mentre per $y=0$ trovi $lim_(x\to +oo) f(x,0)=-oo$).
vero, qui non ci avevo proprio pensato!
"Gugo82":
Per i punti interni all'angolo $|y|<=x$, la questione pure l'hai risolta bene, perchè la funzione non ha punti critici nell'interno dell'angolo.
D'altra parte sulla frontiera, ossia per $y=pm x$ con $x>=0$, devi andare a guardare cosa succede alla funzione di una variabile $x\mapsto x^2"e"^x-x$ limitatamente all'insieme $x>=0$; ad occhio un punto critico dovrebbe esserci (in $[0,1]$ probabilmente).
Studio la derivata di $x\mapsto x^2"e"^x-x$ e vedo che si annulla una volta in quell'intervallo, e che lì c'è un punto di minimo relativo. Come faccio però a sapere se è un punto di minimo relativo anche per $D$?
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