Max e min relativi funzione a 2 variabili
Sto facendo come esercizio lo studio di questa funzione per studiare i punti critici non utilizzando la matrice hessiana.
$ f(x,y)=x^3+y^3+xy $ Dal sistema delle derivate parziale escono fuori i seguenti punti critici:(0,0) e (-1/3,-1/3).
Per lo studio del punto (0,0) ho trasformato la funzione in $f(x,x)=x^3+x^3+x^2$ e poi in $f(x,-x)$ e tramite lo studio delle derivate ho visto che il punto zero a volte era di max e a volte di min quindi per la funzione iniziale è una sella.
Per quanto riguarda lo studio dei punti (-1/3,-1/3) però non so come procedere e come trasformare la funzione.
$ f(x,y)=x^3+y^3+xy $ Dal sistema delle derivate parziale escono fuori i seguenti punti critici:(0,0) e (-1/3,-1/3).
Per lo studio del punto (0,0) ho trasformato la funzione in $f(x,x)=x^3+x^3+x^2$ e poi in $f(x,-x)$ e tramite lo studio delle derivate ho visto che il punto zero a volte era di max e a volte di min quindi per la funzione iniziale è una sella.
Per quanto riguarda lo studio dei punti (-1/3,-1/3) però non so come procedere e come trasformare la funzione.
Risposte
Allora, io non so se il metodo che ho usato io sia canonico e neanche se sia sempre funzionante; ti dico come ho ragionato: consideriamo un intorno $B((-1/3,-1/3), \epsilon)$ e poniamo $x=-1/3+\alpha$ $y=-1/3+\beta$ in modo che $(x,y) in B$.
Sviluppando in questo modo la funzione e considerando - oltre al termine noto - i termini di grado più basso (cioè quelli più "grandi") si vede che $f(x,y)=1/27-2/3(\alpha+\beta)$ cioè l'incremento della funzione può essere sia positivo che negativo a seconda del valore di $\alpha$ e $\beta$. Quindi questo punto è di sella.
Sviluppando in questo modo la funzione e considerando - oltre al termine noto - i termini di grado più basso (cioè quelli più "grandi") si vede che $f(x,y)=1/27-2/3(\alpha+\beta)$ cioè l'incremento della funzione può essere sia positivo che negativo a seconda del valore di $\alpha$ e $\beta$. Quindi questo punto è di sella.
mi spiace ma la soluzione del libro lo da come massimo relativo e non come sella...
Evidentemente il mio metodo non funziona...mmm proverò a rivedere i conti
Sì, scusa hai ragione. I termini di primo grado si elidono e si ottiene $f(x,y)=1/27-(\alpha^2+\beta^2)$ quindi è effettivamente un massimo come dice il libro XD
Si può trasformare la funzione basta sostituire come hai fatto tu per [tex](0,0)[/tex] e risulta punto di massimo.
Una cosa, quando calcolate la derivata della funzione che avete trasformato [tex]f(x,x)[/tex]
Come lo scrivete che state calcolando la derivata? cioè prima dell'uguale cosa mettete?
tipo [tex]Fx(x,-x)=..................[/tex]
Così?
Una cosa, quando calcolate la derivata della funzione che avete trasformato [tex]f(x,x)[/tex]
Come lo scrivete che state calcolando la derivata? cioè prima dell'uguale cosa mettete?
tipo [tex]Fx(x,-x)=..................[/tex]
Così?
"Darèios89":
Si può trasformare la funzione basta sostituire come hai fatto tu per [tex](0,0)[/tex] e risulta punto di massimo.
Una cosa, quando calcolate la derivata della funzione che avete trasformato [tex]f(x,x)[/tex]
Come lo scrivete che state calcolando la derivata? cioè prima dell'uguale cosa mettete?
tipo [tex]Fx(x,-x)=..................[/tex]
Così?
ma se rifaccio f(x,x) e mi viene $x^3+x^3+x^2$ se faccio la derivata mi vengono come punti critici lo zero e -1/2 ..come faccio a sapere come si comporta nel punto critico(-1/3,-1/3)??
Se in una particolare direzione ti vengono punti critici diversi dovresti porti delle domande prché da qualche parte hai sbagliato di sicuro
Allora la mia domanda è questa:
Quando tu hai fatto il calcolo per [tex](0,0)[/tex] hai trasformato la funzione in [tex]f(x,x)[/tex] e poi hai detto che ti sei studiato il segno della derivata.
La mia domanda è come l'hai scritta sul foglio la derivata? parlo di notazione, cioè la derivata si indica in genere con [tex]f'(x)[/tex] ma qui che siamo in due variabili come l'hai indicata?
Non so se è corretto, ma io ho sostituito i punti, cioè ho trasformato la funzione in [tex]f(-\frac{1}{3},y)[/tex]
Ho calcolato le derivate e ne ho studiato il segno ottenendo:
[tex]x<-\frac{1}{3},x>\frac{1}{3}[/tex]
Poi ho fatto la funzione per
[tex]f(x,-\frac{1}{3})[/tex]
E fatto la stessa cosa ottenendo come soluzioni:
[tex]y<-\frac{1}{3},y>\frac{1}{3}[/tex]
Cioè praticamente La funzione per [tex]x<-\frac{1}{3}[/tex] e [tex]y<-\frac{1}{3}[/tex] è crescente.
Quindi il punto sarà di massimo.....
Non so perchè ti confondi, è la stessa cosa fatta per l'origine, solo che qui fai una prima restrizione dove x=y e sostituisci il valore, e poi fai il contrario...
Quando tu hai fatto il calcolo per [tex](0,0)[/tex] hai trasformato la funzione in [tex]f(x,x)[/tex] e poi hai detto che ti sei studiato il segno della derivata.
La mia domanda è come l'hai scritta sul foglio la derivata? parlo di notazione, cioè la derivata si indica in genere con [tex]f'(x)[/tex] ma qui che siamo in due variabili come l'hai indicata?
ma se rifaccio f(x,x) e mi viene se faccio la derivata mi vengono come punti critici lo zero e -1/2 ..come faccio a sapere come si comporta nel punto critico(-1/3,-1/3)??
Non so se è corretto, ma io ho sostituito i punti, cioè ho trasformato la funzione in [tex]f(-\frac{1}{3},y)[/tex]
Ho calcolato le derivate e ne ho studiato il segno ottenendo:
[tex]x<-\frac{1}{3},x>\frac{1}{3}[/tex]
Poi ho fatto la funzione per
[tex]f(x,-\frac{1}{3})[/tex]
E fatto la stessa cosa ottenendo come soluzioni:
[tex]y<-\frac{1}{3},y>\frac{1}{3}[/tex]
Cioè praticamente La funzione per [tex]x<-\frac{1}{3}[/tex] e [tex]y<-\frac{1}{3}[/tex] è crescente.
Quindi il punto sarà di massimo.....
Non so perchè ti confondi, è la stessa cosa fatta per l'origine, solo che qui fai una prima restrizione dove x=y e sostituisci il valore, e poi fai il contrario...
semplicemente ho scritto la funzione da derivare tra parentesi e ci ho messo l'apice..penso sia corretto.
ma quando hai fatto f(-1/3,y) la y come l'hai sostituita nella funzione?
ma quando hai fatto f(-1/3,y) la y come l'hai sostituita nella funzione?
La funzione l'ho scritta sostituendo un solo valore per volta:
[tex]f(-\frac{1}{3},y)[/tex]
E poi:
[tex]f(x,-\frac{1}{3})[/tex]
Quindi la funzione l'ho riscritta sostituendo soloun valore per volta, e la derivata la calcolo di volta in volta.....nel primo caso avrò delle costanti per x, e la derivata sarà praticamente in y.
Mentre nel secondo caso siccome sostituisco la y, per questa variabile ovviamente avrò dei numeri che essendo delle costanti non influenzano la derivata, mentre quest'ultima sarà fatta rispetto all'altra variabile che ho che è x.
Temo di averti confuso di più le idee....
[tex]f(-\frac{1}{3},y)[/tex]
E poi:
[tex]f(x,-\frac{1}{3})[/tex]
Quindi la funzione l'ho riscritta sostituendo soloun valore per volta, e la derivata la calcolo di volta in volta.....nel primo caso avrò delle costanti per x, e la derivata sarà praticamente in y.
Mentre nel secondo caso siccome sostituisco la y, per questa variabile ovviamente avrò dei numeri che essendo delle costanti non influenzano la derivata, mentre quest'ultima sarà fatta rispetto all'altra variabile che ho che è x.
Temo di averti confuso di più le idee....
Penso di aver capito,io ho usato la sostituzione f(x,x) che ho usato anche per determinare la natura del punto (0,0) e derivando la funzione mi viene come pnto critico oltre allo zero anche -1/3 ossia gli stessi dei punti critici determinati con il sistema e ho visto che -1/3 e di massimo in una variabile quindi anche in quella a due variabili.è giusto il ragionamento?Un dubbio che ho è quando devo trasformare la funzione per studiarla in una variabile:è la stessa cosa se faccio f(x,x) o f(x,mx) e così via?Ossia o c faccio passare una curva o una retta è lo stesso?
Forse però non basta, ti ricordi che tu hai fatto prima [tex]f(x,x)[/tex] e poi [tex]f(x,-x)[/tex] ?
Scoprendo che 0 era di sella?
Per [tex]f(x,-x)[/tex]
Ottieni come soluzione del segno della derivata se non erro [tex]x<0[/tex]
Quindi anche in questo caso dovrebbe andare bene, per x minore di 0 è crecente quindi lo sarà anche per x minore di meno un terzo.
Ma credo che quest'ultima considerazione vada fatta pure, come abbiamo fatto per l'origine.
P.S...per l'ultima domanda sulla retta, se puoi evitare, secondo me è meglio, a me quelle cose fanno solo confondere...
Scoprendo che 0 era di sella?
Per [tex]f(x,-x)[/tex]
Ottieni come soluzione del segno della derivata se non erro [tex]x<0[/tex]
Quindi anche in questo caso dovrebbe andare bene, per x minore di 0 è crecente quindi lo sarà anche per x minore di meno un terzo.
Ma credo che quest'ultima considerazione vada fatta pure, come abbiamo fatto per l'origine.
P.S...per l'ultima domanda sulla retta, se puoi evitare, secondo me è meglio, a me quelle cose fanno solo confondere...
in che senso evitare?dici che è la stessa cosa f(x,x) e f(x,mx) per capire la natura del punto?
No bè io non sono bravo usando le rette, quindi per questo mi è venuto in mente di dirti evita, ma possibilmente tu ci sai lavorare e ti viene uguale, a me fa confondere.
Non so dirti.....prova, dovrebbe dipendere in caso da che cosa, dal coefficiente angolare?
Non so dirti.....prova, dovrebbe dipendere in caso da che cosa, dal coefficiente angolare?
beh neanch'io sn pratico con le rette ma voglio verificare,cmq credo dipenda dal coefficiente angolare..
una domanda ma se ho ad esempio $mx^2$ come lo posso derivare?come devo considerare la m?
una domanda ma se ho ad esempio $mx^2$ come lo posso derivare?come devo considerare la m?
Dovrebbe diventare [tex]2mx[/tex] immagina che quella m sia un numero.
Tipo [tex]3x^2[/tex] diventa [tex]6x[/tex] quindi moltiplichi l'esponente per m.
Tipo [tex]3x^2[/tex] diventa [tex]6x[/tex] quindi moltiplichi l'esponente per m.
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