Max e Min relativi ed assoluti di una funzione

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Volevo postare questo esercizio per sapere se ho ragionato correttamente.

Data la funzione $ f(x,y)=xy(1-x-y) $ determinare i punti critici e discuterne la natura estremale.
Si trovino il massimo e il minimo assoluti della funzione nel triangolo di vertici
$ O(0,0), A(1,0), B (0,1) $

Per prima cosa ho risolto il sistema

$ { ( (partial f)/(partial x)= y-2xy-y^2=0 ),( (partial f)/(partial y)=x-x^2-2xy=0 ):} $

che mi fornisce come soluzioni i punti

$ O(0,0), A(1,0), B (0,1) , C (1/3,1/3)$ che ricadono tutti nell'area da studiare

Quindi ho costruito la matrice Hessiana

$ | ( (partial^2 f)/(partial x^2) , (partial^2 f)/(partial xpartialy) ),( (partial^2 f)/(partial xpartialy) , (partial^2 f)/(partial y^2) ) | = $

$ | ( -2y , 1-2x-2y),( 1-2x-2y , -2x ) | $

Esaminando i valori della H nei punti ho ricavato che

$ H(0,0)=-1<0rArr $ $ O $ è punto di $sella$

$ H(1,0)= H(0,1)=-1<0 $ $ A,B $ sono punti di $sella$

$ H(1/3,1/3)=1/3>0;(partial^2 f)/(partial x^2) (1/3,1/3)<0rArr $ $C$ punto di $massimo relativo$

Adesso per valutare i massimi e minimi assoluti ho studiato la funzione sulla frontiera costituita dai lati del triangolo

retta lato OB ha equazione x=0 . $ f(0,y)= 0 , AA y in[0,1] $

retta lato OA ha equazione y =0 $ f(x,0)= 0 , AA x in[0,1] $

ratte lato AB ha equazione y = -x+1 $ f(x,-x+1)= 0 , AA x in[0,1] $

In tutti e tre i casi la funzione è identicamente nulla sulla frontiera quindi ho conlcuso che

La funzione nel triangolo assume
1) il massimo assoluto nel punto C che è anche massimo relativo
2) il valore minimo pari a 0 in tutta la frontiera del triangolo

E' giusto? Grazie a chiunque risponda

[stormy1]

mi sembra tutto corretto

[marthy_92]

Ok stormy grazie mille