Max e min relativi [da rivedere i passaggi]

[ludwigZero]

ciao a tutti
vorrei che qualcuno correggesse i miei passaggi su max e min relativi

$f(x,y)= e^(-x^2) (y^2 + 4x)$


$f_x = - 2 x e^(-x^2) (y^2 +4x) + 4 e^(-x^2) =0$

$f_y = e^(-x^2) 2 y =0$


$e^(-x^2) [-2x (y^2 +4x) + 4] = 0$

$e^(-x^2) y = 0$

da cui:

$y=0$ (dalla seconda equazione)
$e^(-x^2) $ esponenziale, non si annulla mai
pongo $y=0$

$-2x (y^2 +4x) + 4 = 0$ => $x = - (sqrt(2))/2$ e $x = (sqrt(2))/2$

$f_(xx) = 2 e^(-x^2) [2 x^2 y^2 + 8 x^3 -y^2 - 12 x]$

$f_(xy) = [- 4 xy] e^(-x^2)$

$f_(yy) = 2 e^(-x^2)$

$f_(yx) = [- 4 xy] e^(-x^2)$

trovo l'hessiano per un solo punto, dal momento che l'altro avrà la stessa caratteristica del primo, giacchè è simmetrico.

$H((sqrt(2))/2 ,0) = ((2 e^(-1/2) (8/2^(3/2) - 6 sqrt(2)),0),(0, 2 e^(-1/2))) <0$

sono punti di sella....

vi trovate?

grazie

[gio73]

Ciao Ludwig, sto riflettendo a mio modo sulla tua funzione: ho trovato che vale 0 lungo la parabola di equazione $x=-(y^2)/4$, è negativa internamente e positiva esternamente. Lungo l'asse x tende a 0 quando ci allontanimo dall'origine, mentre lungo y abbiamo una parabola rivolta verso l'alto e con vertice nell'origine.
Vorrei però cercare di capire meglio l'andamento della nostra funzione lungo l'asse x, si tratta della seguente restrizione
$f(x;0)=4x/(e^(2x))$, ma non sono sicura di aver derivato correttamente, puoi farmi vedere come avresti fatto tu? (così mi confronto), grazie.
edit mi ero dimenticata due parentesi

[ludwigZero]

questo studio della funzione non l'ho mai fatto prima però pare interessante
io non ho capito però una cosa.
vedendo che i miei punti 'critici' sono del tipo $(x,0)$ hai voluto fare lo studio di max e min ristretti ad una variabile?
perchè se è cosi è geniale, ma l'hessiano poi non lo fai?

$f_x (x,0) = 4 /e^(x^2) + 4x (-2x) /e^(x^2) = (4 - 8 x^2)/e^(x^2)$

credo sia questa.

all'inizio te hai fatto i limiti rispettivamente per $x->+oo$ e $y->+oo$ ?

[gio73]

"ludwigZero": questo studio della funzione non l'ho mai fatto prima però pare interessante
io non ho capito però una cosa.
vedendo che i miei punti 'critici' sono del tipo $(x,0)$ hai voluto fare lo studio di max e min ristretti ad una variabile?

l'idea è quella
mi diverte immaginare il grafico delle funzioni in 2 variabili, così guardo cosa succede lungo le direzioni che mi sembrano "significative"

"ludwigZero":

$f_x (x,0) = 4 /e^(x^2) + 4x (-2x) /e^(x^2) = (4 - 8 x^2)/e^(x^2)$

credo di sì
$y=f(x)/g(x)$
$y'=(f'(x)g(x)-g'(x)f(x))/(g(x))^2$
e
$y=g(f(x))$
$y=g'(f(x))f'(x)$
corretto?
allora
$f(x)=(4x)/(e^(x^2))$
$f'(x)=(4(e^(x^2))-e^(x^2)(2x)(4x))/((e^(2x))^2)$
da cui
$f'(x)=4(1-2x^2)/(e^(x^2))$
studiando il segno della derivata mi viene una curva decrescente nell'intervallo $-oo Questa curva mi interessa particolarmente perchè se affetto il nostro grafico con piani perpendicolari all'asse x mi vengono delle parabole, tutte rivolte verso l'alto col vertice su questa curva, di conseguenza il punto $S(+1/sqrt2;0)$ mi sembra un punto di sella, mentre il punto $M(-1/sqrt2;0)$ mi pare un minimo, non una sella .