Max e min in $\R^3$
Trovare il massimo e il minimo della funzione
$\h(x,y,z)=x*y*z$
nell'insieme $\A={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2<=1, |z|<=1 }$
Ho fatto così ho eguagliato le componenti del gradiente di h a 0 per trovare i punti critici liberi,
quindi mi veniva
y*z=0
x*z=0
x*y=0
Ora quindi ho ottenuto 4 pti critici P(0,0,0),P1(x,0,0),P2(0,y,0) e P3(0,0,z).Faccio l'hessiano e ottengo
$\H=((0,z,y),(z,0,x),(y,x,0))$
H(P)=0.Quindi nulla si può dire sulla natura del punto P...è corretto?ed eventualmente posso fare altri studi per poter dire di più su quel punto?
Poi ottengo $\H(P1)=((0,0,0),(0,0,x),(0,x,0))$ se ne cerco gli autovalori ho che
$\det(H(P1)-lambda*Id)=-lambda^3-x^2*lambda=0$
Quindi ottengo $\lambda=0,lambda=x,lambda=-x$,
adesso dato che $\x in [-1,1]$,allora H(P1) ha autovalori sia positiv che negativi quindi P1 è un punto di sella?
$\h(x,y,z)=x*y*z$
nell'insieme $\A={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2<=1, |z|<=1 }$
Ho fatto così ho eguagliato le componenti del gradiente di h a 0 per trovare i punti critici liberi,
quindi mi veniva
y*z=0
x*z=0
x*y=0
Ora quindi ho ottenuto 4 pti critici P(0,0,0),P1(x,0,0),P2(0,y,0) e P3(0,0,z).Faccio l'hessiano e ottengo
$\H=((0,z,y),(z,0,x),(y,x,0))$
H(P)=0.Quindi nulla si può dire sulla natura del punto P...è corretto?ed eventualmente posso fare altri studi per poter dire di più su quel punto?
Poi ottengo $\H(P1)=((0,0,0),(0,0,x),(0,x,0))$ se ne cerco gli autovalori ho che
$\det(H(P1)-lambda*Id)=-lambda^3-x^2*lambda=0$
Quindi ottengo $\lambda=0,lambda=x,lambda=-x$,
adesso dato che $\x in [-1,1]$,allora H(P1) ha autovalori sia positiv che negativi quindi P1 è un punto di sella?
Risposte
A occhio (ma mica tanto) ti suggerisco di cercare il massimo ed il minimo di $h$ sulla frontiera dell'insieme di definizione.
"DuxDjo":
Trovare il massimo e il minimo della funzione
$\h(x,y,z)=x*y*z$
nell'insieme $\A={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2<=1, |z|<=1 }$
Restringo le mie considerazioni all'ottante $x,y,z \geq 0$.
Se il vincolo fosse $x+y+z=k$ il massimo si avrebbe per $x=y=z=k/3$;
puoi sfruttare questa cosa, guardando l'intersezione di questi piani
paralleli con il tuo dominio, che è un cilindro.
In pratica hai un cilindro e il punto di massimo dovrebbe essere $(\sqrt{2}/2;\sqrt{2}/2;1)$;
in questo caso il punto sta sul piano $x+y+z=\sqrt{2}+1$ ed è l'unica intersezione con
il cilindro.
Il max è, dunque, $f(\sqrt{2}/2;\sqrt{2}/2;1) = 1/2$.
Sì ok grazie,ma non volevo usare le curve di livello per risolverlo ma fare proprio lo studio dei punti critici,perchè ho sempre dei problemi con l'hessiano 
"franced":
[quote="DuxDjo"]
Trovare il massimo e il minimo della funzione
$\h(x,y,z)=x*y*z$
nell'insieme $\A={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2<=1, |z|<=1 }$
[...]
In pratica hai un cilindro e il punto di massimo dovrebbe essere $(1;1;1)$;
in questo caso il punto sta sul piano $x+y+z=3$ ed è l'unica intersezione con
il cilindro.
Il max è, dunque, $f(1;1;1) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.[/quote]
Scusa, franced, ma $(1,1,1) \notin A$.
Ad ogni modo, $h$ è armonica in $"int"(A)$ e perciò essa assume il massimo ed il minimo su $\partial A$ (Principio del massimo e del minimo forte).
Visto che $h(x,y,z) le xy$, con uguaglianza valida sulle base superiore del cilindro $A$, basta vedere come si comporta $k(x,y)=h(x,y,1)=xy$ in $D={(x,y) in RR^2:quad x^2+y^2le 1}$; $k$ è armonica in $D$ ed assume il valore massimo e minimo su $\partial D$: parametrizzando $\partial D$ in modo canonico in coordinate polari con polo in $(0,0)$, si trova $k(theta)=cos theta*sintheta=1/2sin 2theta$ che è massima [risp. minima] in $pi/4, 5/4 pi$ [risp. $3/4pi, 7/4pi$].
Ne viene che $(pm(sqrt2)/2,pmsqrt(2)/2,1)$ e $(pm(sqrt2)/2,mp(sqrt2)/2,1)$ sono punti, rispettivamente, di massimo e di minimo per $h$ in $A$, in cui $h$ assume valore $1/2$ e $-1/2$.
Tenendo presente che $h(-x,-y,-z)=-h(x,y,z)$, anche i punti $(pm(sqrt2)/2,mp(sqrt2)/2,-1)$ e $(pm(sqrt2)/2,pmsqrt(2)/2,-1)$ sono, rispettivamente, di massimo e minimo ed in tali punti $h$ assume sempre i valori $1/2$ ed $h=-1/2$.
La parte divertente è l'applicazione del Principio del massimo e del minimo forte per le funzioni armoniche: infatti esso consente di trascurare gli eventuali punti critici interni ad $A$ e perciò elimina ogni necessità di analizzare l'Hessiana.
Però il Principio di solito non si insegna nei corsi di Analisi I-II, quindi DuxDjo hai da farti tutti i conti con l'Hessiana.
scusate, io con tutti questi conti e con le matrici mi perdo, ma mi pare piuttosto ovvio che il massimo ed il minimo siano $+-1/2$ in corrispondenza di $(+-sqrt(2)/2, +-sqrt(2)/2, +-1)$ perché si tratta di un cilindro con z (altezza) indipendente da x ed y, mentre x ed y dipendono tra loro nel senso che variano nel cerchio goniomentrico (base)... ciao.
Ovviamente da come hai capito non ho idea del metodo dei massimi forti...
Quindi scusate ma sui punti interni avevo ragione?
A me i punti sul vincolo vengono totalmente diversi!!
Essendo ad analisi2 ho usato il metodo dei moltiplicatori di lagrange prima sulla condizione $\x^2+y^2<=1$
e poi su $\|z|<=1$ e mi risulta
$\L1(x,y,z,lambda)=x*y*z-lambda*(x^2+y^2-1)=x*y*z-lambda*x^2-lambda*y^2+lambda$
facendo il gradiente rispetto alle 3 variabili,aggiungendoci l'equazione del vincolo ed eguagliandole a zero
$\{(y*z-2*lambda*x=0),(x*z-2*lambda*y=0),(x*y=0),(x^2+y^2-1=0):}$
Ponendo $\y=0$ si ottiene $\V1(1,0,0)$
Applicando lo stesso metodo per $\|z|$ ottengo altri due punti $\V2(0,0,1),V3(0,0,-1)$
ora sostituendo ottengo $\f(V1)=f(V2)=f(V3)=0$
Ora dato che a nessuno viene così ,
dove sbaglio?
Quindi scusate ma sui punti interni avevo ragione?
A me i punti sul vincolo vengono totalmente diversi!!
Essendo ad analisi2
ho usato il metodo dei moltiplicatori di lagrange prima sulla condizione $\x^2+y^2<=1$e poi su $\|z|<=1$ e mi risulta
$\L1(x,y,z,lambda)=x*y*z-lambda*(x^2+y^2-1)=x*y*z-lambda*x^2-lambda*y^2+lambda$
facendo il gradiente rispetto alle 3 variabili,aggiungendoci l'equazione del vincolo ed eguagliandole a zero
$\{(y*z-2*lambda*x=0),(x*z-2*lambda*y=0),(x*y=0),(x^2+y^2-1=0):}$
Ponendo $\y=0$ si ottiene $\V1(1,0,0)$
Applicando lo stesso metodo per $\|z|$ ottengo altri due punti $\V2(0,0,1),V3(0,0,-1)$
ora sostituendo ottengo $\f(V1)=f(V2)=f(V3)=0$
Ora dato che a nessuno viene così
,dove sbaglio?
a parte $-lambda*x^2$ che è diventato $-lambda+x^2$, hai inserito un solo vincolo, e non quelli su z. ciao.
"Gugo82":
Scusa, franced, ma $(1,1,1) \notin A$.
Si hai ragione;
ma il ragionamento è giusto.
E' chiaro che $x^2+y^2=1$ sotto la condizione $x=y$
dà come risultato $x=y=\sqrt{2}/2$.
E' colpa del caldo..
Volendo si può ragionare anche in questo modo
(faccio sempre l'ipotesi $x,y,z \geq 0$):
la funzione $f(x,y,z)=xyz$
può essere vista come:
$f(x,y,z)=xy \cdot z$
se riesco a massimizzare la funzione
$g(x,y) = xy$
sotto il vincolo $x^2+y^2 \leq 1$
e la funzione $q(z)$
$q(z)=z$
sotto il vincolo $|z| \leq 1$, il "gioco" è finito.
La funzione $g(x,y)$ assume il suo massimo nel punto $(\sqrt{2}/2;\sqrt{2}/2)$
(siamo per ipotesi nel primo quadrante);
la funzione $q(z)$ ovviamente assume max nel punto $z=1$ (anche qui perché
sto facendo l'ipotesi $z \geq 0$).
(faccio sempre l'ipotesi $x,y,z \geq 0$):
la funzione $f(x,y,z)=xyz$
può essere vista come:
$f(x,y,z)=xy \cdot z$
se riesco a massimizzare la funzione
$g(x,y) = xy$
sotto il vincolo $x^2+y^2 \leq 1$
e la funzione $q(z)$
$q(z)=z$
sotto il vincolo $|z| \leq 1$, il "gioco" è finito.
La funzione $g(x,y)$ assume il suo massimo nel punto $(\sqrt{2}/2;\sqrt{2}/2)$
(siamo per ipotesi nel primo quadrante);
la funzione $q(z)$ ovviamente assume max nel punto $z=1$ (anche qui perché
sto facendo l'ipotesi $z \geq 0$).
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