Max e min funzione 2 variabili (difficoltà nel sistema)

[frenky46]

Individuare i massimi e i minimi per la seguente funzione :

$f(x,y)=x^2*ln(1+y)+x^2*y^2$

Per risolvere l'esercizio mi calcolo le derivate prime e le metto a sistema ponendole entrambe uguali a $0$ :

${(f'_x=2x*ln(1+y)+2xy^2=0),(f'_y=(x^2)/(1+y)+2yx^2=0):}$

Ma ora non riesco a risolvere questo sistema, o meglio dalla prima ricavo $x=0$ ma sostituendolo nella seconda mi trovo $0=0$
e non riesco ad andare avanti potrei pensare che il punto sia $(0,y_0)$ però calcolando le derivate seconde e trovando
il determinante della matrice Hessiana avrei come risultato $0$ il che non mi è di aiuto.

Qualcuno puo indicarmi dove sbaglio ?

[dissonance]

"frenky46":Ma ora non riesco a risolvere questo sistema, o meglio dalla prima ricavo $x=0$ ma sostituendolo nella seconda mi trovo $0=0$

E allora, che significa questo? Significa che il sistema non ha un unica soluzione ma ha per soluzione tutti i punti del piano del tipo ${(x, y)\ :\ x=0}$, ovvero l'asse delle $y$. Sei cioè in presenza di punti critici non isolati. Per casi come questo ci sono delle tecniche apposite, se hai seguito un corso di analisi dovresti averne vista qualcuna. Sul forum se ne è parlato moltissime volte, per esempio qui.

[frenky46]

"dissonance": Significa che il sistema non ha un unica soluzione ma ha per soluzione tutti i punti del piano del tipo ${(x, y)\ :\ x=0}$, ovvero l'asse delle $y$. Sei cioè in presenza di punti critici non isolati. Per casi come questo ci sono delle tecniche apposite, se hai seguito un corso di analisi dovresti averne vista qualcuna. Sul forum se ne è parlato moltissime volte, per esempio qui.

Ti ringrazio, ho letto il post che mi hai suggerito, ma nel mio caso il mio luogo dei punti è $x=0$ e sostituendolo nella mia funzione ritrovo $f(x,y)=0$ non riesco proprio a capire come comportarmi nel mio caso, perchè l'Hessiano mi uscirebbe comunque nullo e non riesco a studiare il segno della mia funzione