Max e Min distanza dall' origine
buongiorno
espongo di seguito un dubbio su un esercizio.
data $S{(x,y,z) t.c 0<=z<=1-x^2-y^2}$
calcolare max e min distanza dall origine
ora io ho usato i moltiplicatori di lagrange impostando come vincolo $1-x^2-y^2=0$ e come funzione la distanza tra due punti $x^2+y^2$ (levo il quadrato che non modifica il risultato )
a questo punto ho $L(x,y,lambda)$ e applico la formula come imposto dai moltiplicatori
$(del)/(delx)$=$ 2x-2xlambda$
$(del)/(dely)$=$ 2y-2ylambda$
$(del)/(dellambda)$=$1-x^2-y^2 $
pongo tutto uguale a 0 e risolvo. volevo sapere se questo era il metodo giusto ed una volta pero trovata cosi la minima distanza come posso impostare per trovare la max distanza?
Grazie
espongo di seguito un dubbio su un esercizio.
data $S{(x,y,z) t.c 0<=z<=1-x^2-y^2}$
calcolare max e min distanza dall origine
ora io ho usato i moltiplicatori di lagrange impostando come vincolo $1-x^2-y^2=0$ e come funzione la distanza tra due punti $x^2+y^2$ (levo il quadrato che non modifica il risultato )
a questo punto ho $L(x,y,lambda)$ e applico la formula come imposto dai moltiplicatori
$(del)/(delx)$=$ 2x-2xlambda$
$(del)/(dely)$=$ 2y-2ylambda$
$(del)/(dellambda)$=$1-x^2-y^2 $
pongo tutto uguale a 0 e risolvo. volevo sapere se questo era il metodo giusto ed una volta pero trovata cosi la minima distanza come posso impostare per trovare la max distanza?
Grazie
Risposte
Ciao matte.c,
Sono uno studente. Quindi se sospetti che la stia sparando grossa, probabilmente hai ragione
Scrivo solo cosa farei nel modo in cui mi è stato insegnato. Magari domani se ho tempo (e se serve) posto i calcoli esplicitamente.
L'esercizio intanto non chiede quello che hai scritto tu, secondo me. Si potrebbe ri-scrivere così.
Innanzitutto ce ne possiamo fregare della radice quadrata, perché $h(t)=\sqrt{t}$ è una funzione monotona crescente quindi i massimi restano tali e lo stesso fanno i minimi (è evidente che non abbiamo nemmeno problemi di definizione). Allora si cercano gli estremi assoluti della funzione $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ sull'insieme $S$. I primi candidati ad essere estremi assoluti sono i punti interni ad $S$ con $\grad g(x,y,z) =0$ e senza perderci molto tempo esce l'origine. E questo è un candidato (riflettendoci bene, l'origine appartiene ad $S$ quindi ci aspettiamo che il punto di minima distanza dall'origine... sia l'origine stessa). Gli altri candidati sono punti in cui non esiste il gradiente: in questo caso non ne abbiamo. Ed infine, la parte un po' più lunga, sulla frontiera di $S$. Si ha: $\partial S= S_1+S_2$ con
$S_1={ ( z=0 ),( 1-x^2-y^2>=0 ):}$
e
$S_2={ ( z=1-x^2-y^2 ),( 1-x^2-y^2>=0 ):}$
Ed in questo caso bisogna trovare gli estremi assoluti delle funzioni a due variabili:
$$g\restriction _{S_1}=x^2+y^2 $$
$$g\restriction_{S_2}=x^2+y^2+(1-x^2-y^2)^2$$
entrambi sull'insieme $E: x^2+y^2\le1$. Una volta trovati i punti si "riportano" nello spazio aggiungendo la $z$ correttamente facendo attenzione se si è in $S_1$ o $S_2$, e si confrontano i valori di $f$ calcolata su tali punti e l'origine.
Se non ti convince affatto ciò che ho scritto, aspettiamo qualcuno più esperto che conferma o smentisca
Sono uno studente. Quindi se sospetti che la stia sparando grossa, probabilmente hai ragione
Scrivo solo cosa farei nel modo in cui mi è stato insegnato. Magari domani se ho tempo (e se serve) posto i calcoli esplicitamente.
L'esercizio intanto non chiede quello che hai scritto tu, secondo me. Si potrebbe ri-scrivere così.
Trova gli estremi assoluti di $$f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ sull'insieme $S: 0\le z\le 1-x^2-y^2$
Innanzitutto ce ne possiamo fregare della radice quadrata, perché $h(t)=\sqrt{t}$ è una funzione monotona crescente quindi i massimi restano tali e lo stesso fanno i minimi (è evidente che non abbiamo nemmeno problemi di definizione). Allora si cercano gli estremi assoluti della funzione $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ sull'insieme $S$. I primi candidati ad essere estremi assoluti sono i punti interni ad $S$ con $\grad g(x,y,z) =0$ e senza perderci molto tempo esce l'origine. E questo è un candidato (riflettendoci bene, l'origine appartiene ad $S$ quindi ci aspettiamo che il punto di minima distanza dall'origine... sia l'origine stessa). Gli altri candidati sono punti in cui non esiste il gradiente: in questo caso non ne abbiamo. Ed infine, la parte un po' più lunga, sulla frontiera di $S$. Si ha: $\partial S= S_1+S_2$ con
$S_1={ ( z=0 ),( 1-x^2-y^2>=0 ):}$
e
$S_2={ ( z=1-x^2-y^2 ),( 1-x^2-y^2>=0 ):}$
Ed in questo caso bisogna trovare gli estremi assoluti delle funzioni a due variabili:
$$g\restriction _{S_1}=x^2+y^2 $$
$$g\restriction_{S_2}=x^2+y^2+(1-x^2-y^2)^2$$
entrambi sull'insieme $E: x^2+y^2\le1$. Una volta trovati i punti si "riportano" nello spazio aggiungendo la $z$ correttamente facendo attenzione se si è in $S_1$ o $S_2$, e si confrontano i valori di $f$ calcolata su tali punti e l'origine.
Se non ti convince affatto ciò che ho scritto, aspettiamo qualcuno più esperto che conferma o smentisca
inteso inteso usi praticamente un weierstrass su un volume.
in effetti non l avevo mai vista in questo modo
Grazie
in effetti non l avevo mai vista in questo modo
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo