Max e min con moltiplicatore di Lagrange
Salve, ho un gran problema con un esercizio.
Sia $ f(x,y)= x^4 +2y^4 $ . Determina max e min ass su $B1(0) $ ( la palla di centro origine e raggio 1).
Usando il moltiplicatore di Lagrange ho \( \phi (x,y)= x^2+y^2-1=0 \)
quindi \( F(x,y,\phi)= x^4+2y^4+\lambda x^2+\lambda y^2-\lambda \)
\( \frac{\partial^{}f}{\partial x}= 4x^3+2\lambda x \)
\( \frac{\partial^{}f}{\partial y}= 8y^3+ 2\lambda y \)
\( \frac{\partial^{}f}{\partial \lambda}= x^2+y^2-1 \)
ora imposto il sistema ( è su questo che ho dubbi, perché ho provato a vedere online ma le soluzioni non coincidono, e inoltre ho solo una soluzione, il che è strano)
\( \begin{cases} 4x^3+2 \lambda x=0 \\ 8y^3+2\lambda y=0 \\ x^2+y^2-1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \lambda =-4x^3/2x \\ \lambda =-8y^3/2y \\ x^2+y^2-1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \lambda =-2x^2 \\ \lambda =-4y^2 \\ x^2+y^2-1=0 \end{cases} \)
(nel caso esplico gli altri conti, ma alla fine tutto mi verrebbe)
\( \begin{cases} x^2=2/3 \\ y^2=1/3 \\ \lambda=-4/3 \end{cases} \)
e in particolare il punto sarebbe $ A( \sqrt{2/3},\sqrt{1/3}) $
Probabilmente ho fatto qualche casino, o qualche errore di distrazione dovuto anche alla giornata ininterrotta di studio o a qualche mia lacuna.
Vi sarei molto grata se qualcuno riuscisse ad aiutarmi
Buona cena e buona serata
Sia $ f(x,y)= x^4 +2y^4 $ . Determina max e min ass su $B1(0) $ ( la palla di centro origine e raggio 1).
Usando il moltiplicatore di Lagrange ho \( \phi (x,y)= x^2+y^2-1=0 \)
quindi \( F(x,y,\phi)= x^4+2y^4+\lambda x^2+\lambda y^2-\lambda \)
\( \frac{\partial^{}f}{\partial x}= 4x^3+2\lambda x \)
\( \frac{\partial^{}f}{\partial y}= 8y^3+ 2\lambda y \)
\( \frac{\partial^{}f}{\partial \lambda}= x^2+y^2-1 \)
ora imposto il sistema ( è su questo che ho dubbi, perché ho provato a vedere online ma le soluzioni non coincidono, e inoltre ho solo una soluzione, il che è strano)
\( \begin{cases} 4x^3+2 \lambda x=0 \\ 8y^3+2\lambda y=0 \\ x^2+y^2-1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \lambda =-4x^3/2x \\ \lambda =-8y^3/2y \\ x^2+y^2-1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \lambda =-2x^2 \\ \lambda =-4y^2 \\ x^2+y^2-1=0 \end{cases} \)
(nel caso esplico gli altri conti, ma alla fine tutto mi verrebbe)
\( \begin{cases} x^2=2/3 \\ y^2=1/3 \\ \lambda=-4/3 \end{cases} \)
e in particolare il punto sarebbe $ A( \sqrt{2/3},\sqrt{1/3}) $
Probabilmente ho fatto qualche casino, o qualche errore di distrazione dovuto anche alla giornata ininterrotta di studio o a qualche mia lacuna.
Vi sarei molto grata se qualcuno riuscisse ad aiutarmi
Buona cena e buona serata
Risposte
La funzione e il vincolo sono pari, se (x,y) sono punti estremi, lo sono anche (-x,-y)...
Oltre ad essere pari (ossia simmetriche rispetto all'asse y), lo sono anche rispetto all'asse x.
Non c'è tanto da studiare tutto il giorno, si tratta di risolvere qualche sistema di equazioni...basta farne uno e gli altri vengono da se, ma se si fanno errori banali nei sistemi di disequazioni uno può fare anche 10mila esecizi ma non ci cava nulla.
lo so,appunto per questo cercavo qualcuno che mi facesse vedere dove sbagliavo, per potermi correggere e farli bene
Nel passaggio dal secondo sistema al terzo fai un passaggio che richiede un po' di attenzione....inoltre se $x^2=a$, quanto vale x?...
x varrebbe +-radice(a) no? per quanto riguarda il passaggio nel sistema, forse non potevo fare le semplificazioni?
"Leira":
x varrebbe +-a no?
no
Nel passaggio del sistema hai diviso per x e y, ci devi mettere una condizione su x e y per fare questo, se non metti questa condizioni ovviamente ti perdi dei possibili candidati per massimo/minimo
Buondì! Allooora per ricapitolare: le soluzione ovviamente sono con il +- ( viste anche le considerazioni sulla simmetria la cosa torna) e quando semplifico devo specificare che siano \( \neq 0 \)
Si, ma poi devi considerare anche il caso in cui x o y sono zero
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