Max e min con moltiplicatore di Lagrange

Leira1
Salve, avrei bisogno di sapere se ho svolto in maniera corretta questo esercizio.
Sia $ f(x,y)= x^2 + \sqrt{3} y^2 $ . Determina max e min assoluti di f su B1(0) ( il cerchio di raggio uno e centro nell'origine).
Lo devo risolvere usando il moltiplicatore di Lagrange.
La \( \phi (x,y)= x^2+y^2-1=0 \)
Quindi la mia \( F(x,y, \lambda)= x^2(1+\lambda)+y^2(\sqrt{3}+\lambda)-\lambda \)
Cerco il gradiente e trovo quando fa zero.
\( \frac{\partial^{}f}{\partial x} = 2(1+\lambda)x \)
\( \frac{\partial^{}f}{\partial y} = 2(\sqrt{3}+\lambda )y \)
\( \frac{\partial^{}f}{\partial \lambda} = x^2+y^2-1 \)
\( \begin{cases} (2+2\lambda)x=0 \\ ( 2\sqrt{3}+2\lambda )y=0 \\\ x^2+y^2-1=0 \end{cases} \Rightarrow \)
le soluzioni che ho trovato sono: $ x=-1 y=0 \lambda=-1 , x=0 y=-1 \lambda= -\sqrt{3} , x=0 y=1 \lambda= -\sqrt{3} , x=1 y=0 \lambda= -1. $
Quindi i punti che possono essere max o min sono
$ A(-1,0) B(0,-1) C(0,1) D(1,0) $
$f(A)= 1 f(B)= \sqrt{3} f(C)= \sqrt{3} f(D) = 1 $
Quindi, il valore max è $ \sqrt{3} $ e il valore min è $1 $
Fatemi sapere se ci sono errori ( nel caso esplico i conti) grazie mille!!

Risposte
cooper1
i risultati sono giusti ma hai sbagliato a calcolare i $lambda$, anche perchè mi sembra che la lagrangiana sia sbagliata: non hai cambiato i segni al vincolo. io avrei fatto così
$L=f(x,y)-lambda phi=x^2+sqrt3 y^2-lambda(x^2+y^2-1)$
così a me escono i punti $A_i = (0,+-1,1) ^^ B_i = (+-1,0,sqrt3)$ con $i=1,2$

Leira1
Ti dispiacerebbe scrivermi il sistema che hai fatto tu e i passaggi per le soluzioni? così posso confrontarlo con il mio?
Grazie molto per le risposte. Buona serata

cooper1
il sistema è uguale al tuo però al posto che avere $2+2lamda$ e di $2sqrt3 + 2lambda$ ho $2-2lambda$ e $2sqrt3 -2lambda$
la risoluzione credo possa essere uguale alla tua (ed infatti i risultati cambiano solo per il $lambda$ dovuto alla differenza nei segni)

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.