Max e min con il moltiplicatore di Lagrange
Salve, ho questo esercizio e vorrei sapere se l'ho fatto correttamente. Sia $ D= { x^2+4y^2 <= 1} $ e $ f:D \in R $
Disegna D e cerca punti di max e min della funzione.
Il mio professore ci fa prima fare il gradiente per vedere dove si annulla . Quindi
\( \bigtriangledown f(x,y) = (-4y,6x) \) questo si annulla per $ O:(0,0) $
ora mi calcolo le derivate per fare la matrice hessiana e viene \( \bigtriangledown fxx = 6; \bigtriangledown fyy =-4 \) e
\( \bigtriangledown fxy = \bigtriangledown fyx =0 \) .
Quindi la matrice hessiana viene $ Hf(x,y)= $ \( \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} \)
Essendo una matrice diagonale, gli auto valori sono \( \lambda 1=6 \) e \lambda 2=-4. Visto che sono uno positivo e uno negativo, il punto O è un punto di sella.
Ora cerco max/min sulla frontiera con il moltiplicatore di Lagrange
imposto \( \phi = x^2+4y^2-1=0 \)
Mi ricavo $ F(x,y lambda )= 3x^2-2y^2+x^2lambda +4y^2lambda-lambda = 0 $
\( \bigtriangledown F(x,y,\lambda) = (6x+2x\lambda,-4y+8y\lambda,x^2+4y^2-1) \)
quindi, impostando il sistema ho
\( \begin{cases} 6x+2x\lambda=0 \\ -4y+8y\lambda=0 \\ x^2+y^2-1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x(6+2\lambda)=0 \\ y(-4+8\lambda)=0 \\ x^2+y^2-1=0 \end{cases} \)
Ora come soluzioni mi verrebbe $ lambda= -3 $ , $ lambda=1/2 $ e $ x=y=0 $
come soluzione ho trovato i punti $ A=(0,1/2) B=(0,-1/2= C=(1,0) D=(-1,0) $
$ f(A)=f(B)= -1/2 $ e $ f(C)= f(D)= 3 $
Quindi in teoria A e B minimi e C e D massimi?
Vi ringrazio per la disponibilità e buona giornata
PS: ho aggiornato con i nuovi calcoli
Disegna D e cerca punti di max e min della funzione.
Il mio professore ci fa prima fare il gradiente per vedere dove si annulla . Quindi
\( \bigtriangledown f(x,y) = (-4y,6x) \) questo si annulla per $ O:(0,0) $
ora mi calcolo le derivate per fare la matrice hessiana e viene \( \bigtriangledown fxx = 6; \bigtriangledown fyy =-4 \) e
\( \bigtriangledown fxy = \bigtriangledown fyx =0 \) .
Quindi la matrice hessiana viene $ Hf(x,y)= $ \( \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} \)
Essendo una matrice diagonale, gli auto valori sono \( \lambda 1=6 \) e \lambda 2=-4. Visto che sono uno positivo e uno negativo, il punto O è un punto di sella.
Ora cerco max/min sulla frontiera con il moltiplicatore di Lagrange
imposto \( \phi = x^2+4y^2-1=0 \)
Mi ricavo $ F(x,y lambda )= 3x^2-2y^2+x^2lambda +4y^2lambda-lambda = 0 $
\( \bigtriangledown F(x,y,\lambda) = (6x+2x\lambda,-4y+8y\lambda,x^2+4y^2-1) \)
quindi, impostando il sistema ho
\( \begin{cases} 6x+2x\lambda=0 \\ -4y+8y\lambda=0 \\ x^2+y^2-1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x(6+2\lambda)=0 \\ y(-4+8\lambda)=0 \\ x^2+y^2-1=0 \end{cases} \)
Ora come soluzioni mi verrebbe $ lambda= -3 $ , $ lambda=1/2 $ e $ x=y=0 $
come soluzione ho trovato i punti $ A=(0,1/2) B=(0,-1/2= C=(1,0) D=(-1,0) $
$ f(A)=f(B)= -1/2 $ e $ f(C)= f(D)= 3 $
Quindi in teoria A e B minimi e C e D massimi?
Vi ringrazio per la disponibilità e buona giornata
PS: ho aggiornato con i nuovi calcoli
Risposte
No, ci sono evidenti errori nel calcolo del gradiente di \(F\). E pure nella risoluzione del sistema dal momento che è semplice notare che anche \(y=-\frac{1}{2}\) sarebbe soluzione.
Okay, ora ci siamo. Però scrivi con maggiore ordine e chiarezza. Pare che la funzione sia \(f(x,y)=3x^2-2y^2\), ma indichi che il suo gradiente è \(\nabla f(x,y)=(-4y,6x)\). Inoltre se le soluzioni al sistema sono date da \(x=y=0\wedge\lambda=-3\vee\lambda=\frac{1}{2}\) da dove saltano fuori quattro punti?
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