Max e min assoluti su restrizione
ciao a tutti,
sto cercando di trovare i max e i min assoluti di una funzione a due variabili:
$f(x,y)=2xy-x^2y-xy^3$
nell'insieme $T=[-1,1]x[-1,1]$
adesso io ho sempre usato il moltiplicatore di lagrange dove l'nsieme T era stato definito tramite equazioni, dopo aver verificato se l'insieme era compatto.In questo caso come posso fare?non so come esplicitare l'insieme tramite equazioni
grazie
sto cercando di trovare i max e i min assoluti di una funzione a due variabili:
$f(x,y)=2xy-x^2y-xy^3$
nell'insieme $T=[-1,1]x[-1,1]$
adesso io ho sempre usato il moltiplicatore di lagrange dove l'nsieme T era stato definito tramite equazioni, dopo aver verificato se l'insieme era compatto.In questo caso come posso fare?non so come esplicitare l'insieme tramite equazioni
grazie
Risposte
Più che di equazioni io parlerei di disequazioni.
Ti conviene studiare i punti stazionari della $f$ dentro il quadrato, dopodichè non puoi usare i moltiplicatori sul bordo perchè non è il sostegno di una curva regolare, ci sono dei punti (gli spigoli) in cui non sono soddisfatte le ipotesi del teorema.
In realtà l'esercizio è semplicissimo, perchè ti basta considerare le restrizioni $f(x, pm 1)$ e $f(pm 1, y)$, e stare attento ai loro estremanti.
Ti conviene studiare i punti stazionari della $f$ dentro il quadrato, dopodichè non puoi usare i moltiplicatori sul bordo perchè non è il sostegno di una curva regolare, ci sono dei punti (gli spigoli) in cui non sono soddisfatte le ipotesi del teorema.
In realtà l'esercizio è semplicissimo, perchè ti basta considerare le restrizioni $f(x, pm 1)$ e $f(pm 1, y)$, e stare attento ai loro estremanti.
intanto grazie
allora andando con ordine il problema mi chiedeva pure di trovarmi inizialmente i max e min relativi della funzione.Quindi ho trovato i punti stazionari in questo modo:
$f_x=2y-2xy-y^3=0$
$f_y=2x-x^2-3xy^2=0$
da quì ho trovato (se non ho sbagliato i calcoli) che $y=+-sqrt(2/5)$ e $x=4/5$.Quindi ho due punti $(4/5,sqrt(2/5))$,$(4/5,sqrt(2/5))$.
andando a fare l'Hessiana ho trovato che il primo punto $H=80>0$ con $f_xx<0$ quindi ho dedotto che è un punto di massimo relativo.(l'altro punto ancora non l'ho caclolato)
quindi il punto calcolato è interno al quadrato.Adesso devo trovarmi quelli ai bordi in questo modo:
presa la retta AB dove A(-1,0) e B(0,1), è parametrizzata da $-1
mi sa che ho sbagliato a disegnare il quadrato vero?
allora andando con ordine il problema mi chiedeva pure di trovarmi inizialmente i max e min relativi della funzione.Quindi ho trovato i punti stazionari in questo modo:
$f_x=2y-2xy-y^3=0$
$f_y=2x-x^2-3xy^2=0$
da quì ho trovato (se non ho sbagliato i calcoli) che $y=+-sqrt(2/5)$ e $x=4/5$.Quindi ho due punti $(4/5,sqrt(2/5))$,$(4/5,sqrt(2/5))$.
andando a fare l'Hessiana ho trovato che il primo punto $H=80>0$ con $f_xx<0$ quindi ho dedotto che è un punto di massimo relativo.(l'altro punto ancora non l'ho caclolato)
quindi il punto calcolato è interno al quadrato.Adesso devo trovarmi quelli ai bordi in questo modo:
presa la retta AB dove A(-1,0) e B(0,1), è parametrizzata da $-1
mi sa che ho sbagliato a disegnare il quadrato vero?
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