Max e min assoluti in due variabili

[valentinax89]

Ciao. Volevo sapere come faccio a vedere se ci sono max e min assoluti dopo aver trovato il max e min relativi forti con il metodo dell'hessiano.
Non capisco perchè fà un limite e se viene + o - infinito non esiste max o min assoluto...Potete spiegarmi com e si fa...

[dissonance]

"valentinax89":
Non capisco perchè fà un limite e se viene + o - infinito non esiste max o min assoluto...

Beh, questo è chiaro. Se una funzione da qualche parte diverge a $+infty$, a maggior ragione non è limitata superiormente. E come fa ad avere un massimo assoluto allora?
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Per quanto riguarda il test della matrice Hessiana, una maniera rapida di ricordarlo è questa. Saprai certamente che se una funzione di una variabile è derivabile due volte, negli intervalli in cui la derivata seconda è negativa la funzione è convessa. Questo fatto è vero anche per funzioni di più variabili, se sostituiamo:
"funzione di classe $C^2$ in un aperto" a "funzione derivabile due volte in un intervallo"
"matrice Hessiana definita negativa" a "derivata seconda negativa".

Ora prendiamo una funzione di una variabile derivabile due volte in un intervallo, e sia $x_0$ un suo punto critico (=$f'(x_0)=0$). Se la derivata seconda nel punto è negativa, in tutto un intorno di $x_0$ dovrà mantenersi tale (*). Quindi in prossimità di $x_0$ la funzione ha un andamento convesso, tipo:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0.5; ymax=1; axes(); plot("x^x");[/asvg]
E allora per forza $x_0$ dovrà essere un minimo relativo.

Rifacciamo tutto con una funzione di due variabili di classe $C^2$ in un aperto, che abbia un punto critico in $x_0$. Se la matrice Hessiana in $x_0$ è definita negativa, si può dimostrare che anche stavolta la funzione dovrà essere convessa in un intorno di $x_0$. L'andamento quindi sarà qualcosa di questo genere:

(è questa la forma del grafico per una funzione convessa di due variabili).
E anche stavolta, come vedi, $x_0$ dovrà essere un minimo relativo. E' esattamente lo stesso principio del caso di funzioni di una sola variabile.


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Nota: (*) Questo si dimostra facilmente usando il teorema dei valori intermedi.