Max e min assoluti funzione due variabili
Devo determinare il massimo e minimo assoluti di $f$nel cerchio di centro l'origine e raggio 1/3
$f(x,y)=sqrt(1-4x^2-y^2)$
questo è il mio procedimento:
ho calcolato e disegnato il dominio $4x^2+y^2<=1$ quindi l'area dell'ellisse
ho trovato il punto critico P (0 , 0) svolgendo le derivate parziali e uguagliandole a 0
ho svolto l'hessiano $hf(0,0)=4>0$ quindi P (0 , 0) è un massimo perchè $fxx<0$
ho riportato la funzione in funzione di una variabile alpha $f(alpha)=sqrt(1-4/9cos^2(alpha)-1/9sin^2(alpha))$
ho trovato i valori di alpha per cui si annulla la derivata prima quindi i minimi in funzione di alpha $sqrt(5/9)$
ho trovato i punti di minimo $(1/3,0,sqrt(5/9))$ $(-1/3,0,sqrt(5/9))$
giusto o sbagliato?
$f(x,y)=sqrt(1-4x^2-y^2)$
questo è il mio procedimento:
ho calcolato e disegnato il dominio $4x^2+y^2<=1$ quindi l'area dell'ellisse
ho trovato il punto critico P (0 , 0) svolgendo le derivate parziali e uguagliandole a 0
ho svolto l'hessiano $hf(0,0)=4>0$ quindi P (0 , 0) è un massimo perchè $fxx<0$
ho riportato la funzione in funzione di una variabile alpha $f(alpha)=sqrt(1-4/9cos^2(alpha)-1/9sin^2(alpha))$
ho trovato i valori di alpha per cui si annulla la derivata prima quindi i minimi in funzione di alpha $sqrt(5/9)$
ho trovato i punti di minimo $(1/3,0,sqrt(5/9))$ $(-1/3,0,sqrt(5/9))$
giusto o sbagliato?
Risposte
Vabbé ma non hai risposto alla domanda dell'esercizio. Determinare massimo e minimo assoluti di $f$ nel cerchio di centro l'origine e raggio $1/3$. Quali sono? Devi dare due numeri.
Inoltre, l'impressione che dai con questo svolgimento è di avere applicato a macchinetta dei procedimenti senza avere chiaro quello che stai facendo. Cerca di giustificare per bene quello che fai.
Inoltre, l'impressione che dai con questo svolgimento è di avere applicato a macchinetta dei procedimenti senza avere chiaro quello che stai facendo. Cerca di giustificare per bene quello che fai.
Per determinare massimi e minimi assoluti ti consiglio di procedere in maniera un po' più precisa.
Supponiamo che devi ricercare estremi assoluti in un insieme [tex]$Q$[/tex] chiuso e limitato in cui la funzione è continua (= ha estremi assoluti per Weiestrass).
Per trovare gli estremi assoluti devi studiare (confrontare) i valori che la funzione assume nei seguenti insiemi:
[tex]$A_1 = \{P \in \dot Q | \nabla f(P)=0\}$[/tex] cioè i punti critici interni a [tex]$Q$[/tex].
[tex]$A_2 = \{P \in \dot Q | \not\exists \nabla f(P)\}$[/tex] cioè i punti singolari interni a [tex]$Q$[/tex].
[tex]$Fr(Q)$[/tex] cioè la frontiera.
NB. La frontiera, ovviamente, va studiata come una funzione di una variabile e vanno ricercati eventuali estremi.
Laddove la funzione assume il valore massimo, hai un massimo assoluto, viceversa, un minimo assoluto.
Eccoti un esempio:
Prendiamo la seguente funzione di due variabili:
[tex]$f(x,y)=x^2 y ln(x+y)$[/tex]
[tex]$ID = \{(x,y) \in R^2 | x+y>0\}$[/tex]
Studiando le derivate parziali osserviamo che esse si annullano nel punto [tex]$P_1 (1,0)$[/tex], nel luogo di punti [tex]$P_2 (0, \alpha)$[/tex] e in [tex]$P_3(\frac{1}{3\sqrt{e}}, \frac{-2}{3\sqrt{e}})$[/tex]
Applichiamo la definizione per il luogo di punti [tex]$P_2$[/tex]:
Imponiamo quindi[tex]$ f(x,y) \ge f(0, \alpha)$[/tex] cioè [tex]$x^2yln(x+y) \ge 0 \Leftrightarrow y \ge 0 \land x+y \ge 1$[/tex].
Disegniamo ciò che abbiamo ottenuto.
(La parte tratteggiata evidenza l'area esclusa dal dominio)
Quindi il luogo dei punti [tex]$(0, \alpha)$[/tex] è un luogo di punti di sella per [tex]$\alpha >0$[/tex], poiché il segno cambia nell'intorno di un qualunque punto del luogo e per [tex]$\alpha <0$[/tex] la funzione non è definita.
Inoltre, come puoi osservare dall'immagine, anche [tex]$P_1$[/tex] è un punto di sella.
Mentre [tex]$P_3$[/tex] è un massimo relativo (come si può riscontrare studiando l'hessiano - anche se successive considerazioni ti faranno capire che puoi evitare anche per questo punto di calcolarti l'hessiano
)
Fin qui, dovrebbe esserti tutto chiaro.
Passiamo alla ricerca degli estremi assoluti, ad esempio nel triangolo [tex]$T=\{(x,y) \in R^2 | x+y-1=0 ; x=0 ; y=0\}$[/tex]
E' un insieme chiuso e limitato in cui la funzione è definita, quindi per Weiestrass ci sono estremi assoluti; determiniamoli.
Chiediamoci:
1) All'interno del triangolo ci sono punti critici?
2) All'interno del triangolo ci sono punti singolari?
3) Cosa accade sui bordi (trova gli eventuali estremi sui bordi)?
1) Si, esattamente il punto [tex]$P_3$[/tex]
2) No, nessun punto singolare.
3) Vediamo:
Restringiamo la funzione, di volta in volta, ad un lato del bordo:
[tex]$f_{| AC} =0$[/tex] (perché se sostituisci [tex]$x=0$[/tex] nella funzione iniziale, essa si annulla)
[tex]$f_{| AB} = 0$[/tex] (perché se sostituisci [tex]$y=0$[/tex] nella funzione iniziale, essa si annulla)
[tex]$f_{| BC} = 0$[/tex] (perché se sostituisci [tex]$x+y-1=0$[/tex] nella funzione iniziale, essa si annulla)
Quindi sui bordi hai tre funzioni (in una varabile) che sono costanti e valgono [tex]$0$[/tex], quindi non hanno estremi relativi.
NB. Se avessi avuto una funzione del tipo, che so: [tex]$f = 3x^2+2$[/tex], te la studiavi in una variabile e ti determinavi gli estremi relativi.
Conclusione della storia, la funzione ha un estremo assoluto in [tex]$P_3$[/tex], che è un massimo, poiché la funzione è tutta positiva in questo insieme, quindi un massimo relativo per [tex]$f$[/tex].
In questo caso, siamo stati fortunati, perchè abbiamo ottenuti un unico punto.
Se avessimo ottenuto più punti, avremmo dovuto prendere solo quello in cui la funzione assumeva il valore massimo (e l'avremmo chiamato massimo assoluto) e quello in cui la funzione assumeva valore minimo (minimo assoluto).
Supponiamo che devi ricercare estremi assoluti in un insieme [tex]$Q$[/tex] chiuso e limitato in cui la funzione è continua (= ha estremi assoluti per Weiestrass).
Per trovare gli estremi assoluti devi studiare (confrontare) i valori che la funzione assume nei seguenti insiemi:
[tex]$A_1 = \{P \in \dot Q | \nabla f(P)=0\}$[/tex] cioè i punti critici interni a [tex]$Q$[/tex].
[tex]$A_2 = \{P \in \dot Q | \not\exists \nabla f(P)\}$[/tex] cioè i punti singolari interni a [tex]$Q$[/tex].
[tex]$Fr(Q)$[/tex] cioè la frontiera.
NB. La frontiera, ovviamente, va studiata come una funzione di una variabile e vanno ricercati eventuali estremi.
Laddove la funzione assume il valore massimo, hai un massimo assoluto, viceversa, un minimo assoluto.
Eccoti un esempio:
Prendiamo la seguente funzione di due variabili:
[tex]$f(x,y)=x^2 y ln(x+y)$[/tex]
[tex]$ID = \{(x,y) \in R^2 | x+y>0\}$[/tex]
Studiando le derivate parziali osserviamo che esse si annullano nel punto [tex]$P_1 (1,0)$[/tex], nel luogo di punti [tex]$P_2 (0, \alpha)$[/tex] e in [tex]$P_3(\frac{1}{3\sqrt{e}}, \frac{-2}{3\sqrt{e}})$[/tex]
Applichiamo la definizione per il luogo di punti [tex]$P_2$[/tex]:
Imponiamo quindi[tex]$ f(x,y) \ge f(0, \alpha)$[/tex] cioè [tex]$x^2yln(x+y) \ge 0 \Leftrightarrow y \ge 0 \land x+y \ge 1$[/tex].
Disegniamo ciò che abbiamo ottenuto.
(La parte tratteggiata evidenza l'area esclusa dal dominio)
Quindi il luogo dei punti [tex]$(0, \alpha)$[/tex] è un luogo di punti di sella per [tex]$\alpha >0$[/tex], poiché il segno cambia nell'intorno di un qualunque punto del luogo e per [tex]$\alpha <0$[/tex] la funzione non è definita.
Inoltre, come puoi osservare dall'immagine, anche [tex]$P_1$[/tex] è un punto di sella.
Mentre [tex]$P_3$[/tex] è un massimo relativo (come si può riscontrare studiando l'hessiano - anche se successive considerazioni ti faranno capire che puoi evitare anche per questo punto di calcolarti l'hessiano
)Fin qui, dovrebbe esserti tutto chiaro.
Passiamo alla ricerca degli estremi assoluti, ad esempio nel triangolo [tex]$T=\{(x,y) \in R^2 | x+y-1=0 ; x=0 ; y=0\}$[/tex]
E' un insieme chiuso e limitato in cui la funzione è definita, quindi per Weiestrass ci sono estremi assoluti; determiniamoli.
Chiediamoci:
1) All'interno del triangolo ci sono punti critici?
2) All'interno del triangolo ci sono punti singolari?
3) Cosa accade sui bordi (trova gli eventuali estremi sui bordi)?
1) Si, esattamente il punto [tex]$P_3$[/tex]
2) No, nessun punto singolare.
3) Vediamo:
Restringiamo la funzione, di volta in volta, ad un lato del bordo:
[tex]$f_{| AC} =0$[/tex] (perché se sostituisci [tex]$x=0$[/tex] nella funzione iniziale, essa si annulla)
[tex]$f_{| AB} = 0$[/tex] (perché se sostituisci [tex]$y=0$[/tex] nella funzione iniziale, essa si annulla)
[tex]$f_{| BC} = 0$[/tex] (perché se sostituisci [tex]$x+y-1=0$[/tex] nella funzione iniziale, essa si annulla)
Quindi sui bordi hai tre funzioni (in una varabile) che sono costanti e valgono [tex]$0$[/tex], quindi non hanno estremi relativi.
NB. Se avessi avuto una funzione del tipo, che so: [tex]$f = 3x^2+2$[/tex], te la studiavi in una variabile e ti determinavi gli estremi relativi.
Conclusione della storia, la funzione ha un estremo assoluto in [tex]$P_3$[/tex], che è un massimo, poiché la funzione è tutta positiva in questo insieme, quindi un massimo relativo per [tex]$f$[/tex].
In questo caso, siamo stati fortunati, perchè abbiamo ottenuti un unico punto.
Se avessimo ottenuto più punti, avremmo dovuto prendere solo quello in cui la funzione assumeva il valore massimo (e l'avremmo chiamato massimo assoluto) e quello in cui la funzione assumeva valore minimo (minimo assoluto).
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