Max e Min Assoluti di $f(x) : sin^2(x) -|x-1|$
Ho questa funzione da $(-pi/2)$ a $pi/2$ $-> R$ :
$f(x) : sin^2(x)- |x-1|$
per cercare il Max e Min sono andato a fare le derivate prime delle due funzioni date dai diversi valori assunti dalla $x$ nei due intervalli di esistenza e cioè:
per $-pi/2 < x < 1$ vale la $ f(x) = sin^2(x) + x - 1$ mentre
per $ 1<= x <= pi/2 $ vale la $f(x) = sin^2(x) - x + 1$
Ho preferito andare avanti nel processo di derivazione perchè non riuscivo a trovare velocemente i valori per cui la $x$ si annullava nella derivata prima e pertanto la derivata seconda per entrambe le due $f(x)$ mi ha dato questi due responsi:
per la prima funzione otterrei un minimo l'unico e quindi assoluto per: $ min ((-pi)/4, (-2-pi)/4 )$ in quanto la derivata seconda nell'intervallo di esistenza prima cresce e poi decresce quindi = $minimo$ ,
mentre per la seconda otterrei un massimo l'unico e quindi assoluto per $ max ((pi/4, (6-pi)/4)$ in quanto la derivata seconda nell'intervallo di esistenza prima descresce e poi cresce quindi = $massimo$.
Essendo uniche le soluzioni per cui si annullano le derivate seconde, ritengo appunto come detto sopra che i punti trovati siano minimo e massimo assoluti.
A parte i conti (che spero possiate confermarmi) è giusto il procedimento ?
Vi torna anche a Voi?
Grazie Roby
$f(x) : sin^2(x)- |x-1|$
per cercare il Max e Min sono andato a fare le derivate prime delle due funzioni date dai diversi valori assunti dalla $x$ nei due intervalli di esistenza e cioè:
per $-pi/2 < x < 1$ vale la $ f(x) = sin^2(x) + x - 1$ mentre
per $ 1<= x <= pi/2 $ vale la $f(x) = sin^2(x) - x + 1$
Ho preferito andare avanti nel processo di derivazione perchè non riuscivo a trovare velocemente i valori per cui la $x$ si annullava nella derivata prima e pertanto la derivata seconda per entrambe le due $f(x)$ mi ha dato questi due responsi:
per la prima funzione otterrei un minimo l'unico e quindi assoluto per: $ min ((-pi)/4, (-2-pi)/4 )$ in quanto la derivata seconda nell'intervallo di esistenza prima cresce e poi decresce quindi = $minimo$ ,
mentre per la seconda otterrei un massimo l'unico e quindi assoluto per $ max ((pi/4, (6-pi)/4)$ in quanto la derivata seconda nell'intervallo di esistenza prima descresce e poi cresce quindi = $massimo$.
Essendo uniche le soluzioni per cui si annullano le derivate seconde, ritengo appunto come detto sopra che i punti trovati siano minimo e massimo assoluti.
A parte i conti (che spero possiate confermarmi) è giusto il procedimento ?
Vi torna anche a Voi?
Grazie Roby
Risposte
La divisione del valore assoluto la fai in base al valore di $x-1$..
Quindi la divisione la devi fare negli intervalli $(-pi/2,1)$ e $(1,pi/2)$.
Ti trovi?
La derivata prima viene semplice.. A te cosa viene? Se usi le forme di duplicazione hai delle disequazioni semplici!
Ps. Per il valore assoluto io uso direttamente il simbolo | che sulla mia tastiera si trova in alto a sinistra sullo stesso tasto di \
Quindi la divisione la devi fare negli intervalli $(-pi/2,1)$ e $(1,pi/2)$.
Ti trovi?
La derivata prima viene semplice.. A te cosa viene? Se usi le forme di duplicazione hai delle disequazioni semplici!
Ps. Per il valore assoluto io uso direttamente il simbolo | che sulla mia tastiera si trova in alto a sinistra sullo stesso tasto di \
x leena:
veramente non mi trovo . Gli intervalli che hai indicato diversi dai miei non mi tornerebbero semplicemente perche' non deve esserci nessuna limitazione alla funzione nel dominio considerato. Solo dobbiamo avere attenzione al fatto che se $x>0$ allora posso togliere il valore assoluto lasciando inalterato il suo contenuto, mentre debbo cambiare il segno se $x<0$.
Io ragionerei così sinceramente.
Roby da Lucca.
Ma per il resto ti torna il ragionamento?
veramente non mi trovo . Gli intervalli che hai indicato diversi dai miei non mi tornerebbero semplicemente perche' non deve esserci nessuna limitazione alla funzione nel dominio considerato. Solo dobbiamo avere attenzione al fatto che se $x>0$ allora posso togliere il valore assoluto lasciando inalterato il suo contenuto, mentre debbo cambiare il segno se $x<0$.
Io ragionerei così sinceramente.
Roby da Lucca.
Ma per il resto ti torna il ragionamento?
Per togliere il valore assoluto si deve guardare il suo segno, non quello della x.
Se hai ad esempio
$f(x)=|x-2|+1$
questa diventa
$f(x)=x-2+1$ cioè $f(x)=x-1$ quando $x-2>=0$ cioè quando $x>=2$
$f(x)=-x+2+1$ cioè $f(x)=-x+3$ quando $x-2<0$ cioè quando $x<2$
Quindi nell'intervallo $(-infty,2]$ si considera $f(x)=x-1$, nell'intervallo $(2,+infty)$ si considera $f(x)=-x+3$
Se hai ad esempio
$f(x)=|x-2|+1$
questa diventa
$f(x)=x-2+1$ cioè $f(x)=x-1$ quando $x-2>=0$ cioè quando $x>=2$
$f(x)=-x+2+1$ cioè $f(x)=-x+3$ quando $x-2<0$ cioè quando $x<2$
Quindi nell'intervallo $(-infty,2]$ si considera $f(x)=x-1$, nell'intervallo $(2,+infty)$ si considera $f(x)=-x+3$
Hai perfettamente ragione chiedo venia , forse pero' le due funzioni da considerare le hai invertite nei due intervalli almeno cosi' mi è parso pero' il concetto ora è chiaro e mi scuso ancora.
percio' :
per la prima funzione $f(x)= sin^2(x) +x-1$ valida nell'intervallo $-pi/2, 1$ la derivata prima vale:
$2sinx*cosx + 1 =0 $ per il suo annullamento vale :
$2sinx*cosx +sin^2(x) + cos^2(x) =0$ e questo è un quadrato perfetto:
$(sinx +cosx)^2$ e pertanto basta trovare nell'intervallo prescelto i valori della $x$ in cui il $sin x= - cos x$ e cioè :
$-pi/4$ (perchè il valore a $pi/4$ lo dobbiamo scartare ----fuori campo---) ora basta sostituire nella $f(x)$ per trovare il valore dell'ordinata e soprattutto vedere il segno della derivata prima discutero il suo segno :
e cioè:
la funzione (derivata prima) decresce prima di $-pi/4$ e cresce dopo pertanto trattasi di $minimo$ e similmente pèer la seconda funzione valida nell'altro intervallo $1
per evidentemente trovare un punto credo di $massimo$ .
E siccome sono gli unici oltre che essere punti stazionari relativi sono anche assoluti.
Come vi sembra il ragionamento? Ora.
Roby
percio' :
per la prima funzione $f(x)= sin^2(x) +x-1$ valida nell'intervallo $-pi/2, 1$ la derivata prima vale:
$2sinx*cosx + 1 =0 $ per il suo annullamento vale :
$2sinx*cosx +sin^2(x) + cos^2(x) =0$ e questo è un quadrato perfetto:
$(sinx +cosx)^2$ e pertanto basta trovare nell'intervallo prescelto i valori della $x$ in cui il $sin x= - cos x$ e cioè :
$-pi/4$ (perchè il valore a $pi/4$ lo dobbiamo scartare ----fuori campo---) ora basta sostituire nella $f(x)$ per trovare il valore dell'ordinata e soprattutto vedere il segno della derivata prima discutero il suo segno :
e cioè:
la funzione (derivata prima) decresce prima di $-pi/4$ e cresce dopo pertanto trattasi di $minimo$ e similmente pèer la seconda funzione valida nell'altro intervallo $1
per evidentemente trovare un punto credo di $massimo$ .
E siccome sono gli unici oltre che essere punti stazionari relativi sono anche assoluti.
Come vi sembra il ragionamento? Ora.
Roby
"ANTONELLI ":
Hai perfettamente ragione chiedo venia , forse pero' le due funzioni da considerare le hai invertite nei due intervalli almeno cosi' mi è parso pero' il concetto ora è chiaro e mi scuso ancora.
Ma perché ti scusi? La cosa bella di questo forum è che ci possiamo confrontare
Tornando al problema
La derivata prima vale:
$f'(x)=2sinx*cosx + 1 $ cioè $sin2x+1$
Se studi direttamente
$sin2x+1>=0$ si ha $sin2x>=-1$ e questa vale sempre.. La funzione in questo intervallo è sempre crescente!
Hai ragione infatti $(sen x+ cos x)^2$ è sempre positivo eccetto come detto quando si annulla per $x=-pi/4$ dove quindi potrebbe esserci un Flesso in quanto prima di $-pi/4 $ la funzione cresce poi si annulla e poi continua a crescere . Pertanto dovrebbe esserci un flesso ascendente.
Boh?
Boh?
Scusa, ma a che cosa ti servono i flessi?
Devi studiare la funzione o devi semplicemente trovare il massimo e il minimo assoluti?
Se una funzione continua è definita in un intervallo chiuso e limitato gli estremi assoluti si trovano nei seguenti punti:
a) estremi del dominio;
b) nei punti in cui si annulla la derivata prima;
c) nei punti in cui la funzione non è derivabile.
Devi studiare la funzione o devi semplicemente trovare il massimo e il minimo assoluti?
Se una funzione continua è definita in un intervallo chiuso e limitato gli estremi assoluti si trovano nei seguenti punti:
a) estremi del dominio;
b) nei punti in cui si annulla la derivata prima;
c) nei punti in cui la funzione non è derivabile.
SCusate ma vorrei chiarire:
Lo sudio della derivata prima mi offre informazioni circa la CRESCENZA e la DECRESCENZA DELLA FUNZIONE nel senso che se la DERIVATA PRIMA è $>0$ allora significa che la funzione cresce mentre se la DERIVATA PRIMA è $<0$ significa che la funzione decresce.
Mentre per la derivata prima $=0$ signica che non cresce nè decresce o meglio è quel punto in cui a funzione cessa di crescere e comincia a decrescere cioè siamo di fronte ad un Massimo , oppure sempre quando la derivata prima $=0$ puo' essere che la funzione cessi di decrescere e comincia crescere , cioè siamo di fronte ad un MINIMO.
Ma si può verificare pure che la funzione cessi di crescere(decrescere) e anzichè decrescere (crescere) riprenda di nuovo a crescere (decrescere) , cioè siamo di fronte ad un flesso orizzontale.
In questo caso la derivata prima resta crescente o decrescente prima e dopo il punto in cui si annulla e pertanto dsiamo di fronte ad un flesso orizzontale.
Ora nel mio caso mi sembra che siamo proprio di fronte ad un caso del genere , pertanto nel punto in cui la derivata prima si annulla essendo sempre crescente sia prima che dopo siamo di fronte ad un flesso.
E pertanto i punti di massimo e minimo assoluti vanno cercati altrove.
Dove?
Lo sudio della derivata prima mi offre informazioni circa la CRESCENZA e la DECRESCENZA DELLA FUNZIONE nel senso che se la DERIVATA PRIMA è $>0$ allora significa che la funzione cresce mentre se la DERIVATA PRIMA è $<0$ significa che la funzione decresce.
Mentre per la derivata prima $=0$ signica che non cresce nè decresce o meglio è quel punto in cui a funzione cessa di crescere e comincia a decrescere cioè siamo di fronte ad un Massimo , oppure sempre quando la derivata prima $=0$ puo' essere che la funzione cessi di decrescere e comincia crescere , cioè siamo di fronte ad un MINIMO.
Ma si può verificare pure che la funzione cessi di crescere(decrescere) e anzichè decrescere (crescere) riprenda di nuovo a crescere (decrescere) , cioè siamo di fronte ad un flesso orizzontale.
In questo caso la derivata prima resta crescente o decrescente prima e dopo il punto in cui si annulla e pertanto dsiamo di fronte ad un flesso orizzontale.
Ora nel mio caso mi sembra che siamo proprio di fronte ad un caso del genere , pertanto nel punto in cui la derivata prima si annulla essendo sempre crescente sia prima che dopo siamo di fronte ad un flesso.
E pertanto i punti di massimo e minimo assoluti vanno cercati altrove.
Dove?
Quindi essendo sempre crescente in quell'intervallo mi sembra di poter dire che il minimo è all'estremo sinistro dell'intervallo ed il massimo all'estremo destro dell'intervallo.
Almeno così mi pare.
Roby.
Almeno così mi pare.
Roby.
Repetita iuvant.
Scusa, ma a che cosa ti servono i flessi se devi semplicemente trovare il massimo e il minimo assoluti?
Teorema
Se una funzione continua è definita in un intervallo chiuso e limitato il massimo e il minimo assoluto si possono trovare solo nei seguenti punti:
a) estremi del dominio;
b) nei punti in cui si annulla la derivata prima;
c) nei punti in cui la funzione non è derivabile.
Nota che nel punto (b) nessuno ti chiede di trovare la crescenza e la decrescenza della funzione.
Scusa, ma a che cosa ti servono i flessi se devi semplicemente trovare il massimo e il minimo assoluti?
Teorema
Se una funzione continua è definita in un intervallo chiuso e limitato il massimo e il minimo assoluto si possono trovare solo nei seguenti punti:
a) estremi del dominio;
b) nei punti in cui si annulla la derivata prima;
c) nei punti in cui la funzione non è derivabile.
Nota che nel punto (b) nessuno ti chiede di trovare la crescenza e la decrescenza della funzione.
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