Max e min assoluti di funzioni a 2 variabili

[qwert90]

ho la funzione $f(x,y)=x^2y$
devo trovare i max e min assoluti nel quadrato $[0,1]*[0,1]$

allora trovo i punti critici e vedo che in realtà si ha un luogo di punti critici (che annullano il gradiente) che è cositutito dall'asse $y$ ... in corrispondenza dei quali la funzione asssume il valore $0$ ...

dopo vado a vedere cosa succede sulla fronitera e nei vertici del quadrato e (sorvolando i calcoli che sarebbe lungo e laborioso scriverli tutti) mi verrebbe
che non ci sono punti di minimo assoluto e c'è un punto solo di massimo assoluto in $(1,1)$

chiedo genitlmente a chi ha qualche programma in grado di fare opreazioni di questo genere se ho fatto bene...
Poi un'altra cosa:
può capitare che una funzione non abbia un punto di minimo assoluto ma solo un punto di massimo assoluto (e viceversa) ?

aiutatemi se potete grazie

[enr87]

sì ma devi studiare la natura dei punti critici interni al quadrato con la matrice hessiana.. oppure li hai solo sulla frontiera?
per i grafici puoi usare il sito www.wolframalpha.com

[qwert90]

quind ho fatto bene enr87 ??
grazie mille

[enr87]

non hai pti critici nel quadrato?

[qwert90]

no enr87... all'interno del quadrato non ho punti critici... ce li ho solo su parte della frotniera del quadrato... in particolare sull'asse $y$ cioè sul lato del quadrato che si trova sull'asse $y$ ...
in quanto il gradiente della funzione si annulla solo nei punti del tipo $(0,y)$ ...
ti trovi ?
grazie ancora..

[enr87]

sì sì, ho provato e hai ragione. allora visto il dominio in cui ti trovi dove hai i punti di massimo e di minimo? (il max è corretto, ma sul minimo potresti dire qualcosa.. anche perchè essendo il dominio chiuso e limitato, qui la funzione ammette sia max che min)

[qwert90]

sulla frontiera e devo vedere anche nei vertici del quadrato essendo la sua fronitera una curca regolare ...
e il risultato che mi trovo è quello che ho scritto nel pmio primo post...
è cosi?

[enr87]

no, i punti di minimo ci sono, guarda bene i valori che può assumere la funzione in quel quadrato. io ora devo scappare comunque torno stasera se non ti risponde nessuno.

[qwert90]

okok grazie proverò... e posterò i risultati..