Max e min assoluti.

Danying
Salve; stavo svolgendo un esercizio guidato... e mi sono perso per strada, se così si può dire...

l'esercizio richiedeva la ricerca di eventuali punti di max e minimi assoluti;

della $f(x) =(|4x^2-8x+3|)/(x^2-2x+2)$ nell'intervallo $[0,4].$ funzione che è continua nell'intervallo è quindi dotata di max e minimo assoluti.

il testo procede con i seguenti passaggi:

dichiara $f(x)>=0$ $AA x in [0,4]$ poichè si ha $N>0$ e $D>=0$ " con N,D indichiamo numeratore e denominatore";
fino a quà diciamo ci sono...

ecco... adesso si trovano le radici del numeratore $4x^2-8x+3=0$ che sono $ x=1/2$ e $x=3/2$


ora adotta una dicitura che non ho ben chiara.... $ 0= f(1/2)= f(3/2) = min f(x) in [0,4]$

sono all'inizio di questi esercizi e quindi ho ancora molto da imparare...
volevo chiedervi...

Come mai si ricercano i punti di minimo solo tramite il numeratore della funzione ???
mentre per cercare i punti di massimo si usa la derivata prima da come ho visto....

e quella dicitura significa che i punti di minimo assoluti sono $2$ ??

grazie per gli eventuali chiarimenti.
Cordiali saluti. :wink:

Risposte
leena1
In realtà puoi utilizzare la derivata anche per trovare i minimi.
In questo caso, sapendo che la funzione è sempre positiva, cioè si trova tutta nel I e nel II quadrante, si sa che, sicuramente, se esistono dei punti in cui la funzione si annulla, cioè è uguale a 0, cioè tocca l'asse delle x, questi sono punti di minimo, proprio per la definizione di punti di minimo.

Danying
"leena":
In realtà puoi utilizzare la derivata anche per trovare i minimi.
In questo caso, sapendo che la funzione è sempre positiva, cioè si trova tutta nel I e nel II quadrante, si sa che, sicuramente, se esistono dei punti in cui la funzione si annulla, cioè è uguale a 0, cioè tocca l'asse delle x, questi sono punti di minimo, proprio per la definizione di punti di minimo.


quindi ricerchiamo le radici "solo al numeratore" perchè appunto sappiamo che la funzione è positiva in tutto l'intervallo...e gli eventuali minimi sono i punti che toccano l'asse delle ascisse.

thankx.

:-D

per l'altro dubbio...?

Gi81
Si, quella dicitura significa che in $1/2$ e in $3/2$ la funzione si annulla, e che $0$ è il valore minimo che la funzione può assumere nell'intervallo $[0,4]$

leena1
"mat100":
quindi ricerchiamo le radici "solo al numeratore" perchè appunto sappiamo che la funzione è positiva in tutto l'intervallo...e gli eventuali minimi sono i punti che toccano l'asse delle ascisse.


Gli eventuali minimi assoluti....
Poi ci potrebbero essere quelli relativi ( da ricercare con la derivata).

Nel caso in cui ponendo la funzione uguale a zero non si trovano valori, non è detto che non ci siano minimi assoluti, si deve procedere con la derivata ;)
Ad esempio:
$f(x)=(x^2+1)/(x^2-2*x+2)$
qui la funzione è sempre positiva nel suo intervallo di definizione, ma se procedi ponendo $f(x)=0$ non trovi soluzione anche se il minimo c'è!

Danying
"leena":
[quote="mat100"]quindi ricerchiamo le radici "solo al numeratore" perchè appunto sappiamo che la funzione è positiva in tutto l'intervallo...e gli eventuali minimi sono i punti che toccano l'asse delle ascisse.


Gli eventuali minimi assoluti....
Poi ci potrebbero essere quelli relativi ( da ricercare con la derivata).

Nel caso in cui ponendo la funzione uguale a zero non si trovano valori, non è detto che non ci siano minimi assoluti, si deve procedere con la derivata ;)
Ad esempio:
$f(x)=(x^2+1)/(x^2-2*x+2)$
qui la funzione è sempre positiva nel suo intervallo di definizione, ma se procedi ponendo $f(x)=0$ non trovi soluzione anche se il minimo c'è![/quote]

capito...
in questo caso allora i punti di minimo assoluti sono due. io pensavo che qualora esistono sono "unici" un max e un min.
:-D !!

a un piccolo appunto....
su cui mi confondo sempre.....

in questa funzione non possiamo cercare i punti di massimo e minimo relativo giusto? dato che questi ultimi si possono ricercare se e solo se la funzione è definita in un intervallo aperto $(a,b)$

...ma come detto, lo studio della derivata prima che ci viene in aiuto per trovare gli eventuali punti di max e minimo assoluti...serve anche per i punti di max e minimi relativi...

ma allora come facciamo a distinguere i punti locali da quelli assoluti.... non ho ben chiaro se possono esistere tutti e quattro in una generica funzione ??

:smt021 ... grazie per i chiarimenti.

leena1
Il termine "assoluto" si utilizza quando non c'è nessun altro valore maggiore (per i massimi) o minore (per i minimi) in assoluto, cioè in tutto l'intervallo di definizione della funzione.
Facciamo un esempio stupido:
$f(x)=(x^2-5*x-4)/(x-5)$
Ha un minimo per x=7 e un massimo per x=3.
Essi sono entrambi relativi.
Questo perchè la funzione nell'intervallo $(5,+infty)$ la funzione ha il minimo in $(7;9)$ ma ci sono altri punti in cui la funzione assume valori più piccoli di 9...
Infatti nell'intervallo $(-infty;5)$ la funzione assume valori più piccoli.

Lo stesso discorso vale per il massimo...
Spero di essere stata chiara, ma se hai ancora dubbi non esitare a chiedere ;)

Danying
"leena":
Il termine "assoluto" si utilizza quando non c'è nessun altro valore maggiore (per i massimi) o minore (per i minimi) in assoluto, cioè in tutto l'intervallo di definizione della funzione.
Facciamo un esempio stupido:
$f(x)=(x^2-5*x-4)/(x-5)$
Ha un minimo per x=7 e un massimo per x=3.
Essi sono entrambi relativi.
Questo perchè la funzione nell'intervallo $(5,+infty)$ la funzione ha il minimo in $(7;9)$ ma ci sono altri punti in cui la funzione assume valori più piccoli di 9...
Infatti nell'intervallo $(-infty;5)$ la funzione assume valori più piccoli.

Lo stesso discorso vale per il massimo...
Spero di essere stata chiara, ma se hai ancora dubbi non esitare a chiedere ;)



si teoricamente la differenza la so.

uno si riferisce ad un intorno e l'altro "assoluto" è inteso per tutto il "Dominio".

Il mio problema sta nella pratica di un esercizio, quando ci chiede di calcolarli tutti e quattro ....
come ci comportiamo?

cioè molte volte si intuisce ad occhio, ... ma il procedimento da seguire qual'è ?
ci si mette semplicemente a sostituire il valore alla x , tipo per l'intervallo $(-infty;5)$ il valore $x=4$ per fare un esempio banale...


?? ;-)

thkx.

leena1
Allora prima di tutto non è detto che siano quattro...
Non c'è un numero fisso ;)

Poi semplicemente quando calcoli i massimi e i minimi, conosci i valori delle x.
Ogni volta calcolati anche il valore della y corrispondente (sostituendo la x nella funzione).
Tutti sono massimi o minimi relativi.

Poi quelli assoluti li devi ricercare tra i valori più alti (per il massimo) e più bassi (per il minimo).

Ad esempio se hai che la funzione ha :
due minimi per $x=1$ e $x=5$
tre massimi per $x=3$, $x=6$ e $x=7$

e sostituendo i valori ottieni ii seguenti punti:

$m_1(1;7)$ $m_2(5;-2)$
e
$M_1(3;2)$ $M_2(6;5)$ $M_3(7;4)$

allora in questo caso hai che $m_2$ potrebbe essere il minimo assoluto. L'unica cosa ancora da controllare è vedere se la funzione in qualche zona assume valori inferiori a -2.
Devi controllare i limiti.
Se ad esempio hai un asintoto verticale, cioè la funzione per un qualsiasi numero finito tende a $-infty$ allora $m_2$ non è un minimo assoluto in quanto ci sono punti della funzione più in basso di esso.
Se invece controllando tutti gli intervalli, il punto $m_2& risulta essere effettivamente quello più in basso puoi affermare che esso è un minimo assoluto.

Graficamente lo si vede subito! ;)

Per quanto riguarda i massimi, già puoi dire che non c'è un massimo assoluto in quanto $m_1$ si trova più in alto di tutti e tre i massimi relativi, e quindi la funzione assume un valore maggiore in altri punti.

Danying
"leena":
Allora prima di tutto non è detto che siano quattro...
Non c'è un numero fisso ;)

Poi semplicemente quando calcoli i massimi e i minimi, conosci i valori delle x.
Ogni volta calcolati anche il valore della y corrispondente (sostituendo la x nella funzione).
Tutti sono massimi o minimi relativi.

Poi quelli assoluti li devi ricercare tra i valori più alti (per il massimo) e più bassi (per il minimo).

Ad esempio se hai che la funzione ha :
due minimi per $x=1$ e $x=5$
tre massimi per $x=3$, $x=6$ e $x=7$

e sostituendo i valori ottieni ii seguenti punti:

$m_1(1;7)$ $m_2(5;-2)$
e
$M_1(3;2)$ $M_2(6;5)$ $M_3(7;4)$

allora in questo caso hai che $m_2$ potrebbe essere il minimo assoluto. L'unica cosa ancora da controllare è vedere se la funzione in qualche zona assume valori inferiori a -2.
Devi controllare i limiti.
Se ad esempio hai un asintoto verticale, cioè la funzione per un qualsiasi numero finito tende a $-infty$ allora $m_2$ non è un minimo assoluto in quanto ci sono punti della funzione più in basso di esso.
Se invece controllando tutti gli intervalli, il punto $m_2$ risulta essere effettivamente quello più in basso puoi affermare che esso è un minimo assoluto.

Graficamente lo si vede subito! ;)

Per quanto riguarda i massimi, già puoi dire che non c'è un massimo assoluto in quanto $m_1$ si trova più in alto di tutti e tre i massimi relativi, e quindi la funzione assume un valore maggiore in altri punti.


capito, ho notato che comunque non è obbligatorio la derivabilità per i punti di max e minimo;

la funzione data, per $=1/2$ e $x=3/2$ non è derivabile...

EDIT: non è vero che c'è un numero fisso, però è come dico io... i punti di massimo e minimo assoluto qualora esistono sono unici 8-)

leena1
La definizione di massimo e minimo è data indipendentemente dal fatto se la funzione è derivabile o meno.
Poi per le funioni derivabili, si hanno quei teoremi che noi utilizziamo una ricerca più veloce ;)

gugo82
"mat100":
[...] però è come dico io... i punti di massimo e minimo assoluto qualora esistono sono unici 8-)

E che significa, di grazia?

A me risulta che la funzione [tex]$f(x):=\sin x$[/tex] abbia infiniti punti di massimo (e minimo) tutti assoluti...

Danying
"gugo82":
[quote="mat100"][...] però è come dico io... i punti di massimo e minimo assoluto qualora esistono sono unici 8-)

E che significa, di grazia?

A me risulta che la funzione [tex]$f(x):=\sin x$[/tex] abbia infiniti punti di massimo (e minimo) tutti assoluti...[/quote]

:-k sicuramente è come dici te Gugo. anzi sicuro :-D

mi sa che ho interpretato male una frase, frase che ho letto da una dispensa di analisi matematica 1.

del dipartimento di matematica del politecnico di torino.

che riporto:

"si noti come mentre i punti di massimo e di minimo possono essere svariati, il massimo assoluto ed il minimo assoluto di una funzione,se esistono sono unici. Possiamo caratterizzarli come il minimo ed il massimo dell'insieme immagine".

;-)

gugo82
Ah, ecco...

Nota che "punto di massimo assoluto" e "massimo assoluto" sono cose assai diverse; la prima dicitura indica uno dei punti [tex]$\bar{x}$[/tex] tali che [tex]$f(\bar{x}) =\max f$[/tex], mentre la seconda denota il valore del numero [tex]$\max f$[/tex].
(Lo stesso dicasi per le espressioni "punto di minimo assoluto" e "minimo assoluto".)

Danying
"gugo82":
Ah, ecco...

Nota che "punto di massimo assoluto" e "massimo assoluto" sono cose assai diverse; la prima dicitura indica uno dei punti [tex]$\bar{x}$[/tex] tali che [tex]$f(\bar{x}) =\max f$[/tex], mentre la seconda denota il valore del numero [tex]$\max f$[/tex].
(Lo stesso dicasi per le espressioni "punto di minimo assoluto" e "minimo assoluto".)


... :-k Gugo, ma nel generico "studio di funzione" se non vado errato ci si chiede solamente di (calcolare i "punti di max e min assoluti" ) .... giusto ???

e comunque, mi hai aperto un bel dubbio :P

Per evitare confusione,..quella che al momento risiede in buona dose nella mia testa.., saresti così gentile da farmi un esempio anche banale... di ricerca di max/min assoluti , e ricerca dei punti di max e min assoluti...?

con la stessa funzione... in modo tale da chiarirmi una volta per tutte la sostanziale differenza tra i due concetti...

Grazie.. :wink:

blackbishop13
prendi la funzione $f(x)=3$

qual'è il valore massimo assunto dalla funzione $f$ ?
e quali sono i punti in cui la funzione assume valore massimo?

Danying
"blackbishop13":
prendi la funzione $f(x)=3$

qual'è il valore massimo assunto dalla funzione $f$ ?
e quali sono i punti in cui la funzione assume valore massimo?



il valore massimo è tre.... e il punto in cui la funzione assume il valore massmio è tre...

no? :roll:

dissonance
Lascio un link ad una discussione analoga a questa, forse blackbishop se la ricorda:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#390734

(p.s.@mat100: correggi la bestialità che hai scritto nell'ultimo post altrimenti blackbishop si arrabbia! :-) )

blackbishop13
"dissonance":
correggi la bestialità che hai scritto nell'ultimo post altrimenti blackbishop si arrabbia!


troppo tardi, vista!! :-D
scusa mat100, scherziamo ovviamente!

però l'errore c'è, ed è grosso:
prova a pensarci, perchè dici che è proprio $3$ il punto del dominio in cui assume valore massimo?

tu dici che $f(3)$ è il valore massimo che la funzione assume (ovvero dici che nel punto, del dominio, 3 la funzione assume il valore massimo).

e se fai $f(2)$ o $f(12)$ non ottieni sempre $3$ come valore della funzione, quindi nel codominio?

Danying
"blackbishop13":
[quote="dissonance"]correggi la bestialità che hai scritto nell'ultimo post altrimenti blackbishop si arrabbia!


troppo tardi, vista!! :-D
scusa mat100, scherziamo ovviamente!

però l'errore c'è, ed è grosso:
prova a pensarci, perchè dici che è proprio $3$ il punto del dominio in cui assume valore massimo?

tu dici che $f(3)$ è il valore massimo che la funzione assume (ovvero dici che nel punto, del dominio, 3 la funzione assume il valore massimo).

e se fai $f(2)$ o $f(12)$ non ottieni sempre $3$ come valore della funzione, quindi nel codominio?[/quote]

tranquilli :-D , anzi grazie mille per i chiarimenti..... molto esaustivi nel 99% dei casi.

siamo/sono quì per "imparare" XD metto in conto la fuga di qualche "stupidaggine"

allora...
questa è una funzione costante...
Black, qualsiasi valore assume la $f$ il valore massimo che assume è sempre $3$... cioè mi pare di si....

mentre non ci sono punti di massimo assoluto dato che si va ad $infty$ ....

spero di non aver detto un altra cippa! :axe:

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