Max e min assoluti

[Aristotele2]

Salve a tutti ho dei dubbi su questo esercizio svolto da mio prof in aula:
Determinare i punti di max e min assoluti della funzione $f(x,y)=x^2-y^2$ nel cerchio C di centro $(0,0)$ e raggio $1$.
Calcolo le derivate parziali prime e seconde:
$f_x=2x$ $f_y=-2y$ $f_xy=f_yx=0$ $f_xx=2$ $f_yy=-2$
dunque
$H(x,y)=-4<0$
allora essendo
$Df(x,y)=0$
${(2x=0),(-2y=0):}$
${(x=0),(y=0):}$
mi sembra evidente che il punto critico $(0,0)$ è un punto di sella per $f(x,y)$.
Ora vado a vedere i punti della frontiera di C.Le equazioni parametriche della circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $1$ sono:
${(x=cos*(t)),(y=sen*(t)):}$
dove $t in [0,2pi]$
dunque la restrizione di f alla circonferenza è data da
$F(t)=f(cos*(t),sen*(t))=cos^2*(t)-sen^2*(t)=cos*2t$
dove $t in [0,2pi]$
Ora
$F'(t)=-2sen*2t$ e $F''(t)=-4cos*2t$
$F'(t)=0$
$sen*2t=0$
$2*sen*(t)*cos*(t)=0$
$t=0,t=pi/2,t=pi,t=(3/2)*pi,t=2pi$
e
$F''(0)=-4$ $0$ è un punto di max relativo per $F(t)$
$F''(pi/2)=4$ $(pi/2)$ è un punto di min relativo per $F(t)$
$F''(pi)=-4$ $pi$ è un punto di max relativo per $F(t)$
$F''((3/2)*pi)=4$ $(3/2)*pi$ è un punto di min relativo per $F(t)$
Essendo
$F(0)=F(pi)=1$ e $F(pi/2)=F((3/2)*pi))=-1$
si ha che
$0$ e $pi$ sono punti di max assoluto per $F(t)$
$pi/2$ e $(3/2)*pi$ sono punti di min assoluto per $F(t)$.
Così
$(cos*(0),sen*(0))=(1,0)$
$(cos*(pi),sen*(pi)=(-1,0)$
sono punti di max assoluto per $f(x,y)$ cioè $f(1,0)=f(-1,0)=1$
e
$(cos*(pi/2),sen*(pi/2))=(0,1)$
$(cos*(3/2)*pi,sen*(3/2)*pi)=(0,-1)$
sono punti di minimo assoluto per $f(x,y)$ cioè $f(0,1)=f(0,-1)=-1$

Quello che non mi è molto chiaro è che questi punti
$F''(0)=-4$ $0$ è un punto di max relativo per $F(t)$
$F''(pi/2)=4$ $(pi/2)$ è un punto di min relativo per $F(t)$
$F''(pi)=-4$ $pi$ è un punto di max relativo per $F(t)$
$F''((3/2)*pi)=4$ $(3/2)*pi$è un punto di min relativo per $F(t)$
sono di max e di min relativo ma rispetto alla frontiera cioè la circonferenza che abbiamo considerato..non rispetto all'interno della funzione $f(x,y)$ perchè lì c'è solo un punto di sella che è $(0,0)$...
Quindi anche i punti:
$0$ e $pi$ sono punti di max assoluto per $F(t)$
$pi/2$ e $(3/2)*pi$ sono punti di min assoluto per $F(t)$.
riguardano ovviamente la frontiera.
Ma allora quando ci si mette sulla frontiera si trovano max e min sia relativi che assoluti poi si vede se gli assoluti sulla frontiera sono anche assoluti per la funzione data che in questo caso è $f(x,y)=x^2-y^2$.Cioè se sono max e min assoluti anche per il cerchio non solo per la circonferenza che in questo esercizio è la frontiera.Giusto?
Un altra domanda quando ho una situazione questo tipo $f(x,y)=x^2-y^2$ cioè un cerchio C si procede sempre in questo modo?
Grazie a tutti!!e scusatemi per il post che è lunghissimo!!

[Camillo]

Per vedere cosa accade sulla frontiera di equazione $x^2+y^2 = 1 $ sostituisci nella funzione $f(x,y) = x^2-y^2 $ il valore di $y^2 $ ricavato dall'equazione della frontiera $y^2 = 1-x^2 $ e otterrai una funzione di una sola variabile da studiare coi soliti metodi :
$ f(x,x) = 2x^2-1 $ .

[Aristotele2]

Quindi il metodo svolto dal prof è un altro metodo ancora...ma almeno le mie motivazioni su tale metodo sono giuste??

"Aristotele":Ma allora quando ci si mette sulla frontiera si trovano max e min sia relativi che assoluti poi si vede se gli assoluti sulla frontiera sono anche assoluti per la funzione data che in questo caso è $f(x,y)=x^2-y^2$.Cioè se sono max e min assoluti anche per il cerchio non solo per la circonferenza che in questo esercizio è la frontiera.Giusto?

Il metodo descritto dal mio libro di testo(Fusco,Marcellini,Sbordone) per la ricerca dei max e min assoluti è questo:
-Trovare i punti critici sulla frontiera a prescindere dai max e min relativi interni al dominio che il mio testo chiama A.
-Sostituire i punti nella funzione.
-Il più grande dei punti trovati rappresenta il max assoluto il più piccolo rappresenta il min assoluto.
Quindi,rileggendo i passaggi di questo esercizio,credo che il prof abbia utilizzato questo metodo...