Max e min assoluti
posso farmi una domanda semplice ma che non riesco a rispondere : come faccio a sapere che una funzione pur ammettendo min e max relativi non ammetta max e min assoluti? Lo posso capire solo graficamente?
Grazie
Grazie
Risposte
In parole povere, se per $x->+oo f(x)->+oo$ è evidente che la funzione ammetterà solamente massimi relativi.
In maniera del tutto analoga se per $x->-oo f(x)->-oo$ è evidente che la funzione ammetterà solamente minimi relativi.
In maniera del tutto analoga se per $x->-oo f(x)->-oo$ è evidente che la funzione ammetterà solamente minimi relativi.
In aggiunta a quanto già detto da Evisu86, ricordo il procedimento per trovare max e min assoluti .
Dopo aver determinato gli eventuali punti di max e min relativo bisogna verificare anche :
a) i valori della funzione ove non è derivabile ( punti angolosi, cuspidi) ; ad es. la funzione $y = |x| $ ha in $x=0$ un minimo assoluto che non può essere identificato tramite l'annullamento della derivata prima , perchè la funzione non è derivabile in $x = 0$.
b) i valori della funzione agli estremi dell'insieme di definizione .
Es. $y = 2x+1$ definita in$ [-1 ,2]$ ha minimo assoluto in $x=-1$ e max assoluto in $x=2$.
c) si confrontano i vari valori così ottenuti e si decide quali sono i punti di max e min assoluti.
Camillo
Dopo aver determinato gli eventuali punti di max e min relativo bisogna verificare anche :
a) i valori della funzione ove non è derivabile ( punti angolosi, cuspidi) ; ad es. la funzione $y = |x| $ ha in $x=0$ un minimo assoluto che non può essere identificato tramite l'annullamento della derivata prima , perchè la funzione non è derivabile in $x = 0$.
b) i valori della funzione agli estremi dell'insieme di definizione .
Es. $y = 2x+1$ definita in$ [-1 ,2]$ ha minimo assoluto in $x=-1$ e max assoluto in $x=2$.
c) si confrontano i vari valori così ottenuti e si decide quali sono i punti di max e min assoluti.
Camillo
ehm le condizioni scritte da Camillo le ho capite. ma il simbolo $ cosa significa? comunque perchè e^x/ x^2 - 3 ammette min rel =3 e max rel=-1 e non ammette max assoluto o min assoluto? Grazie aiutatemi
Se la funzione di cui parli è : $ y = (e^x/x^2)-3 $, il massimo assoluto non esiste perchè per x che tende a $+00$ e anche per x che tende a 0, la funzione tende a $+00$ , e quindi sarebbe $+00 $ il max assoluto, ma non essendo $ +00$ un numero non lo si può chiamare max assoluto.
Analogamente per x che tende a $- 00$ , la funzione tende a -3 , ma non lo raggiunge mai e quindi non puoi dire che -3 è il minimo assoluto in quanto mai lo raggiunge.
Camillo
Analogamente per x che tende a $- 00$ , la funzione tende a -3 , ma non lo raggiunge mai e quindi non puoi dire che -3 è il minimo assoluto in quanto mai lo raggiunge.
Camillo
No, ti riferivi alla funzione $ y = e^x/(x^2-3) $ [guarda le istruzioni per scrivere con Mathplayer ].
In questo caso non esistono nè max nè min assoluti perchè quando x tende a $+00$ ma anche a $sqrt(3)^(+) $ e pure a $-sqrt(3)^(-) $, y tende a $+ 00 $; analogamente quando x tende a $ sqrt(3)^(-) $ e anche a $-sqrt(3)^(+) $ , y tende a $ -00$.
Camillo
In questo caso non esistono nè max nè min assoluti perchè quando x tende a $+00$ ma anche a $sqrt(3)^(+) $ e pure a $-sqrt(3)^(-) $, y tende a $+ 00 $; analogamente quando x tende a $ sqrt(3)^(-) $ e anche a $-sqrt(3)^(+) $ , y tende a $ -00$.
Camillo
Quello che ho scritto prima è un po impreciso. In realtà non è necessario che la funzione vada a piu o meno infinito per x che tende a piu o meno infinito. Piu precisamente la funzione deve tendere a piu o meno infinito agli estremi del dominio, che possono anche essere, p.e -1 e + 1.
Mi scuso per l'imprecisione
Mi scuso per l'imprecisione
"mick86":
ehm le condizioni scritte da Camillo le ho capite. ma il simbolo $ cosa significa? comunque perchè e^x/ x^2 - 3 ammette min rel =3 e max rel=-1 e non ammette max assoluto o min assoluto? Grazie aiutatemi
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6287
ok quindi se fx tende a più o meno infinito agli estremi del dominio non ammette max e min assoluti?
Perchè allora f(x) = log|x| +X(1-X) tende a più o meno infinito agli estremi ed ha un max assoluto in x=1?
Scusate la mia ignoranza ma abbiate pietà di uno studente di Economia che deve fare un esame di matematica generale
. Grazie
Perchè allora f(x) = log|x| +X(1-X) tende a più o meno infinito agli estremi ed ha un max assoluto in x=1?
Scusate la mia ignoranza ma abbiate pietà di uno studente di Economia che deve fare un esame di matematica generale
. Grazie
Ecco il grafico della funzione : $y = ln|x|+x(1-x) $
La funzione non tende a $+00$ in nessun punto , mentre tende a $-00$ per x che tende a $ +-00$.
Chiaramente il punto (1,0) è un punto di massimo assoluto.
Non c'è invece mimino assoluto per quanto detto sopra .
Non importa per quale valore di x la funzione tenda a $+00$ oppure a $-00$:
se tende a $+00 $ (ovunque questo accada) non ci sono max assoluti.
se tende a $-00$ ( ovunque questo accada non ci sono minimi asoluti.
N.B. $+00 $ , $ -00$ non sono numeri !!.
Camillo
La funzione non tende a $+00$ in nessun punto , mentre tende a $-00$ per x che tende a $ +-00$.
Chiaramente il punto (1,0) è un punto di massimo assoluto.
Non c'è invece mimino assoluto per quanto detto sopra .
Non importa per quale valore di x la funzione tenda a $+00$ oppure a $-00$:
se tende a $+00 $ (ovunque questo accada) non ci sono max assoluti.
se tende a $-00$ ( ovunque questo accada non ci sono minimi asoluti.
N.B. $+00 $ , $ -00$ non sono numeri !!.
Camillo
Quindi per trovare il minimo assoluto o maz assoluto bisogna far tendere la funzione f(x) a +∞ o -∞
se la funzione sarà +∞ non avrà max assoluti
se la funzione sarà -∞ non avrà minimi assoluti
se invece sarà un numero l finito, quel numero sarà il minimo o il max assoluto.
Giusto?
se la funzione sarà +∞ non avrà max assoluti
se la funzione sarà -∞ non avrà minimi assoluti
se invece sarà un numero l finito, quel numero sarà il minimo o il max assoluto.
Giusto?
Per Camillo:
invece questa funzione con il modulo: $f(x)=ln(1+sqrtx)-|x-2|$ ha come minimo relativo $x=-1/9$ e come massimo relativo $x=2$ ??
non sono molto pratico nemmeno io nella ricerca di massimo e minimo..
invece questa funzione con il modulo: $f(x)=ln(1+sqrtx)-|x-2|$ ha come minimo relativo $x=-1/9$ e come massimo relativo $x=2$ ??
non sono molto pratico nemmeno io nella ricerca di massimo e minimo..
La funzione ha max assoluto per $ x=2 $ , non ha minimo assoluto in quanto per $x rarr +oo $ tende a $-oo $ ; non ha minimi relativi.
ma per fare il limite il modulo è stato risolto? sono stati fatti 2 limiti quindi in presenza del modulo? ill $x=-1/9$ non viene considerato?
Il dominio della funzione è : $ x >=0 $ .
Per la presenza del modulo, la funzione ha 2 espressioni analitiche diverse :
$ln(1+sqrt(x))+x-2 $ per $ 0<=x <= 2 $
$ln(1+sqrt(x)) -x +2 $ per $ x>=2 $ .
$lim_(x rarr +oo) ln(1+sqrt(x))-x+2 = - oo $ in quanto per $ x rarr +oo $ si ha che $ ln(1+sqrt(x)) $ è asintotico a $ lnsqrt(x) = (1/2)*lnx $ e $ln x $ va all' infinito molto più lentamente di $-x $ e pertanto prevale quest'ultimo e il limite è dunque $ -oo $.
Da dove sbuca $ x= -1/9 $ ?
Per la presenza del modulo, la funzione ha 2 espressioni analitiche diverse :
$ln(1+sqrt(x))+x-2 $ per $ 0<=x <= 2 $
$ln(1+sqrt(x)) -x +2 $ per $ x>=2 $ .
$lim_(x rarr +oo) ln(1+sqrt(x))-x+2 = - oo $ in quanto per $ x rarr +oo $ si ha che $ ln(1+sqrt(x)) $ è asintotico a $ lnsqrt(x) = (1/2)*lnx $ e $ln x $ va all' infinito molto più lentamente di $-x $ e pertanto prevale quest'ultimo e il limite è dunque $ -oo $.
Da dove sbuca $ x= -1/9 $ ?
l'avevo trovato successivamente dopo che ho trovato la derivata e l'avevo posta = 0.
ma mi sono accorto di aver fatto un errore di calcolo
ma mi sono accorto di aver fatto un errore di calcolo
Ecco il grafico
che programma usi per fare i grafici?
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