Max e min
salve a tutti ho un problema nella ricerca del punto critico di una funzione non riesco mai a risolvere il sistema.
ad esempio come si fa con questo ex??
determinare max e minimo relativo ed assoluto della seguente funzione nel suo insieme di definizione
$ f(x,y)=log(1+x^2+y^2)-3xy $
allora adesso mi faccio le derivate parziali $ { ( (2x)/(1+x^2+y^2)-3y=0 ),( (2y)/(1+x^2+y^2)-3x=0 ):} $
arrivata a questo punto mi blocco non lo so risolvere il sistema qualcuno puo darmi una mano??Grazie
ad esempio come si fa con questo ex??
determinare max e minimo relativo ed assoluto della seguente funzione nel suo insieme di definizione
$ f(x,y)=log(1+x^2+y^2)-3xy $
allora adesso mi faccio le derivate parziali $ { ( (2x)/(1+x^2+y^2)-3y=0 ),( (2y)/(1+x^2+y^2)-3x=0 ):} $
arrivata a questo punto mi blocco non lo so risolvere il sistema qualcuno puo darmi una mano??Grazie
Risposte
potresti fare il mcm nelle due equazioni poi fare alcune considerazioni sui denominatori...
Per cominciare prova a pensare a qual'è il dominio di definizione della tua funzione:
Intanto deve essere necessariamente un sottoinsieme di $RR^2$, dato che $(x,y) in RR^2$. In secondo luogo l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero, ma questo è sempre verificato essendo $x^2+y^2>= 0 AA (x,y) in RR^2$, e la disuguaglianza stretta è verificata dal momento che a questo numero aggiungi $1$.
Quindi il dominio è tutto $RR^2$
Ora bisognerebbe applicare il teorema di Fermat, che mette in relazione punti critici (che annullano il gradiente) a punti di estremo relativo (massimi e minimi).
Il fatto è che non riesco a trovare se il teorema afferma in generale che i punti di estremo relativo sono tutti punti critici, o se ciò vale solo in un aperto connesso per archi.
Ad ogni modo ragionandoci mi sembra più logica la seconda opzione, quindi ti consiglierei di cercare i punti che annullano il gradiente e poi fare il test dell'Hessiano.
Aspettiamo in caso di sentire se qualcuno si ricorda bene il teorema, che su internet lo trovo solo enunciato per funzioni $RR->RR$, e non per campi scalari.
Intanto deve essere necessariamente un sottoinsieme di $RR^2$, dato che $(x,y) in RR^2$. In secondo luogo l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero, ma questo è sempre verificato essendo $x^2+y^2>= 0 AA (x,y) in RR^2$, e la disuguaglianza stretta è verificata dal momento che a questo numero aggiungi $1$.
Quindi il dominio è tutto $RR^2$
Ora bisognerebbe applicare il teorema di Fermat, che mette in relazione punti critici (che annullano il gradiente) a punti di estremo relativo (massimi e minimi).
Il fatto è che non riesco a trovare se il teorema afferma in generale che i punti di estremo relativo sono tutti punti critici, o se ciò vale solo in un aperto connesso per archi.
Ad ogni modo ragionandoci mi sembra più logica la seconda opzione, quindi ti consiglierei di cercare i punti che annullano il gradiente e poi fare il test dell'Hessiano.
Aspettiamo in caso di sentire se qualcuno si ricorda bene il teorema, che su internet lo trovo solo enunciato per funzioni $RR->RR$, e non per campi scalari.
"anonymous_ed8f11":
Per cominciare prova a pensare a qual'è il dominio di definizione della tua funzione:
Intanto deve essere necessariamente un sottoinsieme di $RR^2$, dato che $(x,y) in RR^2$. In secondo luogo l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero, ma questo è sempre verificato essendo $x^2+y^2>= 0 AA (x,y) in RR^2$, e la disuguaglianza stretta è verificata dal momento che a questo numero aggiungi $1$.
Quindi il dominio è tutto $RR^2$
Ora bisognerebbe applicare il teorema di Fermat, che mette in relazione punti critici (che annullano il gradiente) a punti di estremo relativo (massimi e minimi).
Il fatto è che non riesco a trovare se il teorema afferma in generale che i punti di estremo relativo sono tutti punti critici, o se ciò vale solo in un aperto connesso per archi.
Ad ogni modo ragionandoci mi sembra più logica la seconda opzione, quindi ti consiglierei di cercare i punti che annullano il gradiente e poi fare il test dell'Hessiano.
Aspettiamo in caso di sentire se qualcuno si ricorda bene il teorema, che su internet lo trovo solo enunciato per funzioni $RR->RR$, e non per campi scalari.
ti ringrazioper la risposta ma io lo so risolvere l'esercizio in generale.Il mio problema è il sistema, non riesco a risolverlo e non riesco a trovare i punti critici se non trovo i punti critici non posso trovare i max e min.
E cmq io utilizzo la Condizione necessaria (del secondo ordine) che dice:
sia A un insieme di R^2 (x,y) un punto interno ad A,f una funzione definita su e di classe c^1.Se (x,y) è un punto di min relativo per f su A allora $ { (f_x(x,y)=0 , f_y(x,y)=0 ), (f_(x x)(x,y)>=0 ), (Hf(x,y)>=0 ):} $
è di max se $ { (f_x(x,y)=0 , f_y(x,y)=0 ), (f_(x x)(x,y)<=0 ), (Hf(x,y)>=0 ):} $
"sapie":
$ { ( (2x)/(1+x^2+y^2)-3y=0 ),( (2y)/(1+x^2+y^2)-3x=0 ):} $
io farei
$ { ( (2x-3y-3x^2y-3y^3)/(1+x^2+y^2)=0 ),( (2y-3x-3x^3-3xy^2)/(1+x^2+y^2)=0 ):} $
ora i denominatori non si annullano mai, quindi è da risolvere
$ { ( 2x-3y-3x^2y-3y^3=0 ),( 2y-3x-3x^3-3xy^2=0 ):} $
Allora ho un'idea:
riscrivi il sistema portando a destra dell'$=$ il $-3y$ nell'equazione sopra, ed il $-3x$ in quella sotto.
Ora puoi dividere l'equazione sopra per quella sotto (se ci ragioni, anche se sembra un'operazone strana, ha comunque senso. Prova a pensare se hai un'equazione $A=B$, ed un'altra $C=D$, allora puoi fare $A/C=B/D$, perchè non stai facendo altro che dividere due numeri uguali per uno stesso divisore).
Solo va tenuto conto il caso in cui $x=0$ oppure $y=0$
Così ti rimane: $(2x)/(2y)=(3y)/(3x)$ e facendo poi anche i due casi $x=0$ oppure $y=0$ l'insieme dei punti critici è $I={(x,y) in RR^2 : y=x " oppure " y=-x}
riscrivi il sistema portando a destra dell'$=$ il $-3y$ nell'equazione sopra, ed il $-3x$ in quella sotto.
Ora puoi dividere l'equazione sopra per quella sotto (se ci ragioni, anche se sembra un'operazone strana, ha comunque senso. Prova a pensare se hai un'equazione $A=B$, ed un'altra $C=D$, allora puoi fare $A/C=B/D$, perchè non stai facendo altro che dividere due numeri uguali per uno stesso divisore).
Solo va tenuto conto il caso in cui $x=0$ oppure $y=0$
Così ti rimane: $(2x)/(2y)=(3y)/(3x)$ e facendo poi anche i due casi $x=0$ oppure $y=0$ l'insieme dei punti critici è $I={(x,y) in RR^2 : y=x " oppure " y=-x}
"anonymous_ed8f11":
Allora ho un'idea:
riscrivi il sistema portando a destra dell'$=$ il $-3y$ nell'equazione sopra, ed il $-3x$ in quella sotto.
Ora puoi dividere l'equazione sopra per quella sotto (se ci ragioni, anche se sembra un'operazone strana, ha comunque senso. Prova a pensare se hai un'equazione $A=B$, ed un'altra $C=D$, allora puoi fare $A/C=B/D$, perchè non stai facendo altro che dividere due numeri uguali per uno stesso divisore).
Solo va tenuto conto il caso in cui $x=0$ oppure $y=0$
Così ti rimane: $(2x)/(2y)=(3y)/(3x)$ e facendo poi anche i due casi $x=0$ oppure $y=0$ l'insieme dei punti critici è $I={(x,y) in RR^2 : y=x " oppure " y=-x}
giusto!
in realtà quello che fai è arrivare alla forma
${ (1+x^2+y^2=(2x)/(3y)) , (1+x^2+y^2=(2y)/(3x)):}$
da cui segue quello che hai detto
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