Max e min
$"Data la funzione:"$
$y=x^3/(x^2+ax+1)$
$"i) determinare per quali valori di a y non ammette nè max nè min relativi;"$
$"ii) determinare per quali valori di a il grafico di y ammette due flessi con tangente orizzontale."$
$y=x^3/(x^2+ax+1)$
$"i) determinare per quali valori di a y non ammette nè max nè min relativi;"$
$"ii) determinare per quali valori di a il grafico di y ammette due flessi con tangente orizzontale."$
Risposte
Se si hanno due radici coincidenti e il valore della derivata seconda calcolata in tali punti è,ad esempio,negativo,non si ha un massimo?
"ENEA84":
$"Data la funzione:"$
$y=x^3/(x^2+ax+1)$
$"i) determinare per quali valori di a y non ammette nè max nè min relativi;"$
$"ii) determinare per quali valori di a il grafico di y ammette due flessi con tangente orizzontale."$
$y'(x)=(x^2(x^2+2ax+3))/(x^2+ax+1)^2$ per cui non ci saranno nè massimi nè minimi se $x^2+2ax+3$ o ha due radici complesse coniugate o due radici reali coincidenti, cioè se il delta del polinomio di secondo grado $x^2+2ax+3$ è minore od uguale a zero cioè se $a^2-3<=0->-sqrt3<=a<=sqrt3$
Come si determina il valore di $a$ di cui al punto ii)?
Come dice giustamente Nicola de Rosa, se il discriminante del polinomio $x^2+2ax+3$ è minore od uguale a zero, cioè se $a^2-3<=0->-sqrt3<=a<=sqrt3$, non ci saranno né massimi né minimi.
Nei casi estremi, quando cioè il discriminante è uguale a 0, per $a=+-sqrt3$, ci sarà un flesso a tangente orizzontale.
Questo perchè, valendo 0 il coefficiente angolare della tangente in quel punto, questa deve essere orizzontale. Ma, essendo positiva sia a destra che a sinistra, non si tratta di un minimo ma di un flesso.
Nei casi estremi, quando cioè il discriminante è uguale a 0, per $a=+-sqrt3$, ci sarà un flesso a tangente orizzontale.
Questo perchè, valendo 0 il coefficiente angolare della tangente in quel punto, questa deve essere orizzontale. Ma, essendo positiva sia a destra che a sinistra, non si tratta di un minimo ma di un flesso.
Si può verificare da subito che la funzione
non ammette massimi/minimi su $RR$, essendo
per ogni $a in RR$:
$lim_(x->+oo) y(x) = +oo$
e
$lim_(y->-oo) y(x)=-oo$
non ammette massimi/minimi su $RR$, essendo
per ogni $a in RR$:
$lim_(x->+oo) y(x) = +oo$
e
$lim_(y->-oo) y(x)=-oo$
Vero fire, ma è così semplice verificare ciò?
Cosa? Che i limiti siano quelli? Beh sì...
PS. Vedo che difficilmente mi chiamerete con un nome diverso da fire...
PS. Vedo che difficilmente mi chiamerete con un nome diverso da fire...
Boh, chiedo perchè non saprei come fare senza invertire la funzione. Sono ignorantello in materia.
P.S. Riesci a mimetizzarti come un prete nella neve...
P.S. Riesci a mimetizzarti come un prete nella neve...
La prima cosa che mi è venuta in mente, essendo
la funzione algebrica razionale frazionaria,
è stata di vedere i limiti a $+oo$ e $-oo$... Poiché
essi sono rispettivamente $+oo$ e $-oo$,
ciò vuol dire che $"sup"_RR f=+oo$, $"inf"_RR f = -oo$,
quindi esistono gli estremi superiore ed inferiore
(d'altra parte questi esistono sempre)
ma non esistono massimi/minimi.
la funzione algebrica razionale frazionaria,
è stata di vedere i limiti a $+oo$ e $-oo$... Poiché
essi sono rispettivamente $+oo$ e $-oo$,
ciò vuol dire che $"sup"_RR f=+oo$, $"inf"_RR f = -oo$,
quindi esistono gli estremi superiore ed inferiore
(d'altra parte questi esistono sempre)
ma non esistono massimi/minimi.
"Reynolds":
La prima cosa che mi è venuta in mente, essendo
la funzione algebrica razionale frazionaria,
è stata di vedere i limiti a $+oo$ e $-oo$... Poiché
essi sono rispettivamente $+oo$ e $-oo$,
ciò vuol dire che $"sup"_RR f=+oo$, $"inf"_RR f = -oo$,
quindi esistono gli estremi superiore ed inferiore
(d'altra parte questi esistono sempre)
ma non esistono massimi/minimi.
stai dicendo che indipendentemente dal valore di $a$ la funzione non ha nè massimi nè minimi relativi?
io proverei ad esempio con $a=-2$ per provare che $(3,9/8)$ è un minimo relativo.
spero di non aver detto cretinate
Io avevo inteso che i massimi/minimi fossero assoluti...
"Reynolds":
Io avevo inteso che i massimi/minimi fossero assoluti...
fire lo avevo intuito, ma ENEA84 chiedeva i valori per cui non esistevano max/min relativi.
Ah già... Va beh, però almeno una cosa si può dire,
che se $f$ ammette estremi locali per qualche
valore di $a$, questi senz'altro non sono globali.
Comunque il punto di ascissa 3 per $a=2$ non è
un minimo locale, vedendo il grafico...
che se $f$ ammette estremi locali per qualche
valore di $a$, questi senz'altro non sono globali.
Comunque il punto di ascissa 3 per $a=2$ non è
un minimo locale, vedendo il grafico...
"Reynolds":
Ah già... Va beh, però almeno una cosa si può dire,
che se $f$ ammette estremi locali per qualche
valore di $a$, questi senz'altro non sono globali.
Comunque il punto di ascissa 3 per $a=2$ non è
un minimo locale, vedendo il grafico...
infatti $a=-2$
Nicola scusami tanto ma andando a modificare
il messaggio precedente così mi fai sembrare un cretino,
sembra che io abbia letto nel tuo post $a=2$ per distrazione,
e che tu abbia scritto sempre correttamente $a=-2$...
Va beh lasciamo perdere.
il messaggio precedente così mi fai sembrare un cretino,
sembra che io abbia letto nel tuo post $a=2$ per distrazione,
e che tu abbia scritto sempre correttamente $a=-2$...
Va beh lasciamo perdere.
"Reynolds":
Nicola scusami tanto ma andando a modificare
il messaggio precedente così mi fai sembrare un cretino,
sembra che io abbia letto nel tuo post $a=2$ per distrazione,
e che tu abbia scritto sempre correttamente $a=-2$...
Va beh lasciamo perdere.
io ho editato per chi va a leggere e non si troverà mai con quanto scritto precedentemente, se poi sei tanto permaloso da pensare che io voglia farti passare per quello che non sei a me non riguarda. mi sta a cuore che chi legge non legga cretinate. comunque lasciamo stare è meglio.
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