Max e min

[ale9861]

Per calcolare il massimo assoluto di una funzione a due variabili basta fare le derivate parziali rispetto ad x e y e poi metterle a sistema uguagliandole a 0, quindi risolvere il sistema e trovare le coordinate dei punti? Basta solo questo o c'è dell'altro?le coordinate che ottengo indicano il massimo e/o il minimo assoluto..??

[fireball1]

I punti critici (quelli dove si annulla il gradiente di f)
sono soltanto dei candidati ad essere punti di
estremo, potrebbero anche essere dei punti di sella
(ovvero, analogo del punto di flesso in più dimensioni).
Per vedere di che tipo è il punto critico devi
calcolare l'hessiano in esso, e calcolare
gli autovalori della matrice ottenuta.
Se sono tutti positivi, il punto è di minimo,
se sono tutti negativi, il punto è di massimo;
se sono positivi e negativi, il punto è di sella.
Se c'è almeno un autovalore nullo, devi
fare uno studio locale (ad esempio vedere
se in un intorno di quel punto la funzione
cambia segno, e in tal caso hai un punto di sella).

[cavallipurosangue]

Mi sembra che così trovi solo i punti critici, poi stabilisci se sono punti di massimo, di minimo o di sella. Sicuramente però non sono assoluti, ma relativi. Il più grande tra il più grande di loro ed il valore più grande assunto sul bordo sarà il max assoluto (se la funzione assume valori finiti). Per il minimo vale lo stesso.

[ale9861]

So come si calcolano i punti critici.. vi spiego il mio problema:devo fare un esame di calcolo2, è un esame di ingegneria basato su studio di integrali e di funzionia due variabili. Al'interno dello studio della funzione so come trovare i valori di massimo e di minimo assoluti e relativi ma prima di fare l'esame ci fanno fare un presame che dura mezz'ora ed è fatto di domande a risposte multiple; una di queste domande indica una funzione a due variabili e da 4possibilità di massimo assoluto o minimo assoluto... ci deve essere qualche metodo che porti al calcolo del massimo o minimo assoluto in breve tempo.. non è possibile che mettono un esercizio di studio dei punti critici nel pretest..ecco perchè ve lo chiedevo...

[Eredir]

"ale986":So come si calcolano i punti critici.. vi spiego il mio problema:devo fare un esame di calcolo2, è un esame di ingegneria basato su studio di integrali e di funzionia due variabili. Al'interno dello studio della funzione so come trovare i valori di massimo e di minimo assoluti e relativi ma prima di fare l'esame ci fanno fare un presame che dura mezz'ora ed è fatto di domande a risposte multiple; una di queste domande indica una funzione a due variabili e da 4possibilità di massimo assoluto o minimo assoluto... ci deve essere qualche metodo che porti al calcolo del massimo o minimo assoluto in breve tempo.. non è possibile che mettono un esercizio di studio dei punti critici nel pretest..ecco perchè ve lo chiedevo...

Il metodo per trovarli è quello esposto da fireball, non ci sono molte scorciatoie.

Nel test, dal momento che ti vengono date le possibili risposte, puoi vedere se riesci a trovare una coppia $(x_0, y_0)$ tale che la funzione sia uguale ad uno dei valori elencati (ovviamente a partire da quello più grande).
Se la trovi evidentemente quel valore è il massimo, a meno che non ci sia l'alternativa "nessuno di questi valori".

[ale9861]

Potresti spiegarti meglio..??Dovrei sostituire nella funzione ogni possibile valore datomi come probabile risposta?E poi quale risultato dovrei avere per capire quale è il massimo assoluto?
Purtroppo l alternativa nessuno di questi valori c'è molto spesso...oppure " non ci sono punti di massimo"...
Grazie mille per la risposta

[Eredir]

"ale986":Potresti spiegarti meglio..??Dovrei sostituire nella funzione ogni possibile valore datomi come probabile risposta?E poi quale risultato dovrei avere per capire quale è il massimo assoluto?
Purtroppo l alternativa nessuno di questi valori c'è molto spesso...oppure " non ci sono punti di massimo"...
Grazie mille per la risposta

Magari potresti fare un esempio di funzione che viene data in questo test.
Se la funzione è molto complicata evidentemente il metodo che dicevo non è molto pratico.

[ale9861]

Le funzioni date nel test non sono complicate..serve solo per accedere all'esame che poi è la vera complicazione;
Questi sono gli esempi:
1)f(x,y)=(x^2y2+4) risposte:4;-4;0;1;
2)radice^3 di [27-(x^8+y^8)^2] risposte:3;radice^3 di 26;27;1;

Sono due domande uscite in alcuni test precedenti.....

[Eredir]

"ale986":Le funzioni date nel test non sono complicate..serve solo per accedere all'esame che poi è la vera complicazione;
Questi sono gli esempi:
1)f(x,y)=(x^2y2+4) risposte:4;-4;0;1;
2)radice^3 di [27-(x^8+y^8)^2] risposte:3;radice^3 di 26;27;1;

Sono due domande uscite in alcuni test precedenti.....

Se i casi sono questi non hai bisogno di punti critici o hessiano.

Per $f(x,y)=(x^2y^2+4)$ basta osservare che è sempre positiva, quindi avrà minimo assoluto per $f(0,0)=4$ mentre non avrà massimo assoluto poichè al crescere di $x$ ed $y$ la funzione cresce indefinitamente.

Per $f(x,y)=root 3 (27-(x^8+y^8)^2)$ è quasi uguale, dal momento che $(x^8+y^8)^2$ è sempre positiva. Quindi ci sarà un massimo assoluto per $f(0,0)=root 3 27=3$, mentre non ci sarà minimo assoluto.

Credo che l'idea sia questa, basta osservare un po' le funzioni.