Matrici hessiane definite-semidefinite-indefinite
Stavo facendo degli esercizi su massimi e minimi relativi di funzioni di classe $C^2(A)$, $AsubeRR^n$ e mi è sorto un dubbio sulle matrici hessiane.
Ovviamente, se una matrice è definita positiva (rispettivamente negativa) nel punto critico in questione, il punto è di minimo (rispettivamente massimo).
Se la matrice è indefinita, quindi esistono sia vettori tali che la forma quadratica associata è strettamente negativa sia vettori tali che la forma quadratica è strettamente positiva, il punto non è né ne di massimo né di minimo.
Se la matrice è semidefinita positiva (rispettivamente negativa), il punto non è di massimo (rispettivamente non è di minimo).
Ma se la matrice è nulla?
Voi come la intendereste? Io ho pensato comunque di intenderla come matrice semidefinita, però né negativa, né positiva (nulla 
). E quindi, in sostanza, non dà proprio informazioni, mentre almeno la semidefinitezza (si usa questo termine? ) positiva (rispett. negativa) ti permette di escludere delle possibilità. Quindi è il caso peggiore che possa capitare o sbaglio?
EDIT: aggiungo una domanda: come vanno intesi i punti di sella? Come punti di massimo lungo una restrizione e di minimo lungo un'altra restrizione e che quindi nelle funzioni da $RR^2$ in $RR$ hanno la forma della sella da cavallo?
Perché talvolta mi è sembrato che questo termine venga usato semplicemente per indicare un punto critico che non è né di massimo né di minimo (matrice hessiana indefinita). E' un'impressione mia sbagliata o c'è discordanza di pareri e dipende dai testi?
Ovviamente, se una matrice è definita positiva (rispettivamente negativa) nel punto critico in questione, il punto è di minimo (rispettivamente massimo).
Se la matrice è indefinita, quindi esistono sia vettori tali che la forma quadratica associata è strettamente negativa sia vettori tali che la forma quadratica è strettamente positiva, il punto non è né ne di massimo né di minimo.
Se la matrice è semidefinita positiva (rispettivamente negativa), il punto non è di massimo (rispettivamente non è di minimo).
Ma se la matrice è nulla?
Voi come la intendereste? Io ho pensato comunque di intenderla come matrice semidefinita, però né negativa, né positiva (nulla ). E quindi, in sostanza, non dà proprio informazioni, mentre almeno la semidefinitezza (si usa questo termine? ) positiva (rispett. negativa) ti permette di escludere delle possibilità. Quindi è il caso peggiore che possa capitare o sbaglio?EDIT: aggiungo una domanda: come vanno intesi i punti di sella? Come punti di massimo lungo una restrizione e di minimo lungo un'altra restrizione e che quindi nelle funzioni da $RR^2$ in $RR$ hanno la forma della sella da cavallo?
Perché talvolta mi è sembrato che questo termine venga usato semplicemente per indicare un punto critico che non è né di massimo né di minimo (matrice hessiana indefinita). E' un'impressione mia sbagliata o c'è discordanza di pareri e dipende dai testi?
Risposte
Penso che il tuo dubbio nasca da questa idea:
Posta in questo modo, la conseguenza dovrebbe essere che le l'Hessiana è la matrice nulla allora il punto è di sella. Infatti la matrice nulla è sia semidefinita positiva che negativa. Non è così tuttavia, e infatti quella frase è inesatta. La realtà è: "se il punto è di minimo (massimo), allora è semidefinita positiva (negativa)" il che ti dice ad esempio che se è semidefinita positiva ma non negativa il punto potrebbe essere un minimo ma non può sicuramente essere un massimo. Se invece la matrice è nulla, essendo sia semidefinita positiva che negativa, non si può escludere che il punto sia un massimo né che sia un minimo, e dunque non hai informazioni su di esso. Insomma l'interpretazione che avevi dato è corretta, ma frutto di una costruzione sbagliata secondo me.
Riguardo la seconda domanda non saprei, la definizione che conosco io è quella di punto stazionario che non è massimo né minimo, l'altra che citi tra l'altro mi sembra poco chiara. Nel modo in cui la interpreto io potrebbe anche essere equivalente all'altra.
Se la matrice è semidefinita positiva (rispettivamente negativa), il punto non è di massimo (rispettivamente non è di minimo).
Posta in questo modo, la conseguenza dovrebbe essere che le l'Hessiana è la matrice nulla allora il punto è di sella. Infatti la matrice nulla è sia semidefinita positiva che negativa. Non è così tuttavia, e infatti quella frase è inesatta. La realtà è: "se il punto è di minimo (massimo), allora è semidefinita positiva (negativa)" il che ti dice ad esempio che se è semidefinita positiva ma non negativa il punto potrebbe essere un minimo ma non può sicuramente essere un massimo. Se invece la matrice è nulla, essendo sia semidefinita positiva che negativa, non si può escludere che il punto sia un massimo né che sia un minimo, e dunque non hai informazioni su di esso. Insomma l'interpretazione che avevi dato è corretta, ma frutto di una costruzione sbagliata secondo me.
Riguardo la seconda domanda non saprei, la definizione che conosco io è quella di punto stazionario che non è massimo né minimo, l'altra che citi tra l'altro mi sembra poco chiara. Nel modo in cui la interpreto io potrebbe anche essere equivalente all'altra.
Sì, effettivamente mi ero espresso male. Intendevo dire, come hai specificato tu, che se la matrice è semidefinita positiva ma non negativa ecc.
Grazie per il chiarimento!
Grazie per il chiarimento!
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