Matrici di rotazione
Buonasera a tutti, svolgendo alcuni esercizi di fisica matematica, mi sono sorti dei dubbi riguardo al suddetto argomento.
Supponiamo di considerare rotazioni antiorarie.
Consideriamo un angolo $\theta$; le rotazioni attorno a $\bbe_1, \bbe_2, \bbe_3$ di questo angolo sono date rispettivamente dalle tre matrici
Ora, sappiamo che se $R_A$ è la matrice di una prima rotazione e $R_B$ è quella di una seconda, la matrice totale $R_BR_A$ esprime la rotazione totale.
Supponiamo di voler ruotare una terna ortonormale fissata, di un angolo $\theta$ in senso antiorario attorno all'asse di versore $\bbe_3$. Si ottiene:
Supponiamo adesso di voler ruotare la terna appena ottenuta di un angolo di $\pi/4$ attorno al nuovo asse di versore $\tilde\bbe_2$.
Si ottiene quindi:
Le relazioni tra i versore nuovi, diciamo cappello, e i versori originali sono:
Qui però mi rendo conto, guardando le soluzioni di alcuni esercizi, che c'è qualcosa che non torna.
Il fatto che non vada bene è confermato anche dal fatto che, a rigore di logica, per come sono state pensate le rotazioni in questione, non è possibile che il versore $\hat\bbe_1$ abbia una componente positiva lungo $\bbe_3$.
Dove sta l'inghippo?
Supponiamo di considerare rotazioni antiorarie.
Consideriamo un angolo $\theta$; le rotazioni attorno a $\bbe_1, \bbe_2, \bbe_3$ di questo angolo sono date rispettivamente dalle tre matrici
$R_1=((1,0,0),(0,cos\theta,sin\theta),(0,-sin\theta,cos\theta)), R_2=((cos\theta,0,sin\theta),(0,1,0),(-sin\theta,0,cos\theta)), R_3=((cos\theta,sin\theta,0),(-sin\theta,cos\theta,0),(0,0,1))$.
Ora, sappiamo che se $R_A$ è la matrice di una prima rotazione e $R_B$ è quella di una seconda, la matrice totale $R_BR_A$ esprime la rotazione totale.
Supponiamo di voler ruotare una terna ortonormale fissata, di un angolo $\theta$ in senso antiorario attorno all'asse di versore $\bbe_3$. Si ottiene:
$R_A=((cos\theta,sin\theta,0),(-sin\theta,cos\theta,0),(0,0,1))$.
Supponiamo adesso di voler ruotare la terna appena ottenuta di un angolo di $\pi/4$ attorno al nuovo asse di versore $\tilde\bbe_2$.
Si ottiene quindi:
$R_B=((1/sqrt(2),0,1/sqrt(2)),(0,1,0),(-1/sqrt(2),0,1/sqrt(2)))->R_BR_A=((1/sqrt(2)cos\theta,1/sqrt(2)sin\theta,1/sqrt(2)),(-sin\theta,cos\theta,0),(-1/sqrt(2)cos\theta,-1/sqrt(2)sin\theta,1/sqrt(2)))$
Le relazioni tra i versore nuovi, diciamo cappello, e i versori originali sono:
${(\hat\bbe_1=1/sqrt(2)cos\theta\bbe_1+1/sqrt(2)sin\theta\bbe_2+1/sqrt(2)\bbe_3),(\hat\bbe_2=-sin\theta\bbe_1+cos\theta\bbe_2),(\hat\bbe_3=1/sqrt(2)cos\theta\bbe_1-1/sqrt(2)sin\theta\bbe_2+1/sqrt(2)\bbe_3):}$.
Qui però mi rendo conto, guardando le soluzioni di alcuni esercizi, che c'è qualcosa che non torna.
Il fatto che non vada bene è confermato anche dal fatto che, a rigore di logica, per come sono state pensate le rotazioni in questione, non è possibile che il versore $\hat\bbe_1$ abbia una componente positiva lungo $\bbe_3$.
Dove sta l'inghippo?
Risposte
L'errore è fin dalla definizione delle 3 matrici di rotazione. La $R_3$ va bene, una delle altre due non va bene.
Data una delle 3, la costruzione delle altre 2 avviene come segue:
$(R_k)_(ij)=(R_(k'))_(i'j')$
dove $ij$ indicano un elemento della matrice e dove
$k'=Mod((k+1),3)$ ovvero un incremento modulo 3.
Anche $i$ e $j$ seguono la regola:
$i'=Mod((i+1),3)$
$j'=Mod((j+1),3)$
Data una delle 3, la costruzione delle altre 2 avviene come segue:
$(R_k)_(ij)=(R_(k'))_(i'j')$
dove $ij$ indicano un elemento della matrice e dove
$k'=Mod((k+1),3)$ ovvero un incremento modulo 3.
Anche $i$ e $j$ seguono la regola:
$i'=Mod((i+1),3)$
$j'=Mod((j+1),3)$
"Quinzio":
L'errore è fin dalla definizione delle 3 matrici di rotazione. La $ R_3 $ va bene, una delle altre due non va bene.
Data una delle 3, la costruzione delle altre 2 avviene come segue:
$ (R_k)_(ij)=(R_(k'))_(i'j') $
dove $ ij $ indicano un elemento della matrice e dove
$ k'=Mod((k+1),3) $ ovvero un incremento modulo 3.
Anche $ i $ e $ j $ seguono la regola:
$ i'=Mod((i+1),3) $
$ j'=Mod((j+1),3) $
Intanto vorrei ringraziarti per avermi risposto Quinzio!
Mi dispiace, ma non ho molta familiarità con questa notazione, potresti essere più esplicito?
Forse la terna di matrici corrette è la seguente (segni scambiati per i seni di $R_2$)?
$R_1=((1,0,0),(0,cos\theta,sin\theta),(0,-sin\theta,cos\theta)), R_2=((cos\theta,0,-sin\theta),(0,1,0),(sin\theta,0,cos\theta)), R_3=((cos\theta,sin\theta,0),(-sin\theta,cos\theta,0),(0,0,1))$.
Grazie ancora
"Gabriele.Sciaguato":
Intanto vorrei ringraziarti per avermi risposto Quinzio!
Mi dispiace, ma non ho molta familiarità con questa notazione, potresti essere più esplicito?
Grazie di nulla, prego. Vedo che hai capito il concetto... adesso le 3 matrici sono corrette e dovresti aver risolto l'inghippo.
Sì, ora i conti tornano, ti ringrazio ancora 
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