Matrici

[FrancescoTA1]

Salve a tutti, fra pochi giorni ho l'esame di matematica generale e studiando ho dei dubbi per quanto riguarda le matrici, in particolare quella inversa.
Infatti se ho capito bene posso usare per le matrici 2x2 e 3x3 il metodo dei cofattori o quello di trovare Il determinante e poi fare d/D -b/D -c/D a/D anche se non ho capito se tiene conto del segno del Determinante (se è negativo).

Quindi la mia domanda è: è sempre necessario avere la trasposta? E quando devo usare un metodo e quando un altro? Vorrei che mi fosse tutto chiaro oltre che per l'esame ache per l'importanza dell'argomento e purtroppo non sono mai andato a ricevimento perchè la prof scorbutica e spiegava davvero male.

PS: I vari siti che ho consultato presentano differenze tra loro a volte

[Mark110001]

Ciao Francesco,

Il metodo principale per individuare la matrice inversa è proprio quello che chiami "dei cofattori", passando cioè per la matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici).

Se te consideri una matrice qualsiasi (te la faccio 3x3 per praticità):

$A = ( ( a_11 ,a_12 ,a_13 ),( a_21 ,a_22 ,a_23 ),(a_31 ,a_32 , a_33 ) ) $

Innanzitutto calcoli il determinante $D$ della matrice, che deve essere non nullo, altrimenti non puoi invertire nulla.

Dopodiché calcoli la matrice dei cofattori, sostituendo in ogni punto della matrice il corrispettivo complemento algebrico, facendo attenzione ai segni:

$ Cof(A) = ( (+ | ( a_22 , a_23 ),( a_32 , a_33 ) | , -| ( a_21 , a_23 ),( a_31 , a_33 ) | , ... ),( -| ( a_12 , a_13 ),( a_32 , a_33 ) | , ... , ... ),( ... , ... , ... ) ) $

A questo punto, trasponi la matrice trovata, trovando la cosiddetta matrice aggiunta:

$Adj(A) = Cof(A)^T$

L'inversa della matrice $A$ di partenza sarà proprio quest'ultima, divisa per il determinate $D$ (per questa ragione, se il determinante della matrice è nullo, la matrice non può essere invertita).

$A^-1 = (1/D)*Adj(A) = (1/D)*Cof(A)^T$

Quindi seguendo questo metodo, che è abbastanza standard, devi trasporre. E voglio farti osservare che è abbastanza indifferente se prima calcoli la matrice dei cofattori e la trasponi, oppure prima calcoli la trasposta di $A$, e poi di questa calcoli la matrice dei cofattori.

Ripetiamo il procedimento per una matrice 2x2:

$ A= ( ( a , b ),( c , d ) ) $

$ Cof(A) = ( ( d , -c ),( -b , a ) ) $

$ Adj(A) = ( ( d , -b ),( -c , a ) ) $

$ A^-1 = 1/D * ( ( d , -b ),( -c , a ) ) $

Che come vedi è lo stesso risultato che ottieni tu con l'altro metodo, che in realtà è lo stesso.

In definitiva, per trovare la matrice inversa usando questo metodo devi per forza, sempre, trasporre. Ti serve infatti, se vuoi, a "raddrizzare" nuovamente la matrice, dopo che sei passato per i complementi algebrici:

$ A= ( ( ul(a) , ul(b) ),( c , d ) ) $ $Adj(A) = ( ( ul(d) , -b ),( -ul(c) , a ) ) $