Matrice Wronskiana
Ciao a tutti, il mio professore di Analisi 2 l'ultimo giorno del corso ci ha spiegato in modo abbastanza confusionario i sistemi di equazioni differenziali lineari (omogenei) e come usare la matrice wronskiana per determinare se le soluzioni sono effettivamente linearmente indipendenti. Faccio un esempio, dato il sistema:
$ { ( x'=z ),( y'=3x+7y-9z ),( z'=2y-z ):} $
Si ha che le soluzioni sono:
$ { ( x=C1e^t +C2e^(2t) +C3e^(3t) ),( y=C1e^(t) +3/2C2e^(2t)+6C3*e^(3t) ),( z=C1e^t +2C2e^(2t)+3C3*e^(3t) ):} $
Ora, il professore ha detto che ogni colonna della matrice wronskiana è formato da un vettore soluzione, e per ogni riga le sue componenti, quindi in questo caso penso sia:
$ ( ( e^t , e^t , e^(3t) ),( e^(2t) , 3/2e^(2t) , 2e^(2t) ),( e^(3t) , 6e^(3t) , 3e^(3t) ) ) $
E il suo determinante, se sono l.i., dovrebbe essere diverso da 0 per ogni t.
Il professore però poi ha anche parlato di trasformare equazioni differenziali di ordine superiore al 2 in sistemi differenziali, e in quel caso come matrice wronskiana ha detto che in ogni colonna ci andrebbe la soluzione con le sue derivate fino all'ordine n-1 dell'equazione di partenza. Quindi data un'equazione del tipo $ p'''+p''+p' +p=0 $ e tre soluzioni x,y,z la Wronskiana dovrebbe essere:
$ ( ( x , y , z ),( x' , y' , z' ),( x'' , y'' , z'' ) ) $
E' tutto giusto? Non c'è contraddizione nei due diversi metodi di esprimere la Wronskiana?
$ { ( x'=z ),( y'=3x+7y-9z ),( z'=2y-z ):} $
Si ha che le soluzioni sono:
$ { ( x=C1e^t +C2e^(2t) +C3e^(3t) ),( y=C1e^(t) +3/2C2e^(2t)+6C3*e^(3t) ),( z=C1e^t +2C2e^(2t)+3C3*e^(3t) ):} $
Ora, il professore ha detto che ogni colonna della matrice wronskiana è formato da un vettore soluzione, e per ogni riga le sue componenti, quindi in questo caso penso sia:
$ ( ( e^t , e^t , e^(3t) ),( e^(2t) , 3/2e^(2t) , 2e^(2t) ),( e^(3t) , 6e^(3t) , 3e^(3t) ) ) $
E il suo determinante, se sono l.i., dovrebbe essere diverso da 0 per ogni t.
Il professore però poi ha anche parlato di trasformare equazioni differenziali di ordine superiore al 2 in sistemi differenziali, e in quel caso come matrice wronskiana ha detto che in ogni colonna ci andrebbe la soluzione con le sue derivate fino all'ordine n-1 dell'equazione di partenza. Quindi data un'equazione del tipo $ p'''+p''+p' +p=0 $ e tre soluzioni x,y,z la Wronskiana dovrebbe essere:
$ ( ( x , y , z ),( x' , y' , z' ),( x'' , y'' , z'' ) ) $
E' tutto giusto? Non c'è contraddizione nei due diversi metodi di esprimere la Wronskiana?
Risposte
Nessuna contraddizione. Quando costruisci il sistema associato a un'equazione differenziale di ordine superiore al primo, quello che fai è prendere le derivate successive come variabili del sistema: $y_1= y$, $y_2 = y'$, $y_3 = y''$ e così via

Nel primo esempio di Wronskiana però è giusto considerare che ogni colonna è una soluzione? Perché in teoria ogni colonna non è propriamente soluzione del sistema, è solo una delle tre componenti della soluzione.