Matrice risolvente sistema differenziale
Considero l'equazione differenziale omogenea $y'=A(t)y$ con $y\inRR^n$ e $A(t)\inM_n(CC)$.
Se $phi_1$,...,$phi_n$ sono soluzioni dell'equazione differenziale omogenea linearmente indipendenti allora dico che $Phi=[phi_1 ... phi_n]$ è una "matrice risolvente" (è la matrice che ha per colonne n soluzioni linearmente indipendenti).
Voglio provare che ogni altra matrice risolvente della mia equazione differenziale omogenea è un prodotto $Phi*C$ dove $C\inM_n(CC)$ e $"det"(C)!=0$.
Il fatto che $"det"(C)!=0$ è facile in quanto una matrice risolvente deve avere le colonne linearmente indipendenti e quindi il determinante diverso da $0$, allora $"det"(Phi*C)!=0$ cioè $"det"(phi)*"det"(C)!=0$ cioè $"det"(C)!=0$.
Ma riguardo il fatto che tutte le matrici risolventi si ottengono dal prodotto $Phi*C$ come posso fare?
Se $phi_1$,...,$phi_n$ sono soluzioni dell'equazione differenziale omogenea linearmente indipendenti allora dico che $Phi=[phi_1 ... phi_n]$ è una "matrice risolvente" (è la matrice che ha per colonne n soluzioni linearmente indipendenti).
Voglio provare che ogni altra matrice risolvente della mia equazione differenziale omogenea è un prodotto $Phi*C$ dove $C\inM_n(CC)$ e $"det"(C)!=0$.
Il fatto che $"det"(C)!=0$ è facile in quanto una matrice risolvente deve avere le colonne linearmente indipendenti e quindi il determinante diverso da $0$, allora $"det"(Phi*C)!=0$ cioè $"det"(phi)*"det"(C)!=0$ cioè $"det"(C)!=0$.
Ma riguardo il fatto che tutte le matrici risolventi si ottengono dal prodotto $Phi*C$ come posso fare?
Risposte
Non è difficile, si tratta di usare il teorema di esistenza e unicità e un po' di algebra lineare. Se proprio non ce la fai dai un'occhiata al Pagani-Salsa (tra gli altri).
Mmm...potrei chiamare $c_1,...,c_n$ le colonne di $C$.
Dico che la prima colonna di $Phi*C$ è $Phi*c_1$ e dunque è una soluzione di $y'=A(t)y$, e analogamente tutte le altre colonne.
Essendo che il determinante di $Phi*C$ è non nullo per quanto detto nel primo post le n colonne di $Phi*C$ sono linearmente indipendenti e dunque $Phi*C$ è una matrice risolvente.
Ma non ho usato il teorema di esistenza e unicità dunque non sono convinto che questa sia la strada giusta...sono inciampato da qualche parte?
Dico che la prima colonna di $Phi*C$ è $Phi*c_1$ e dunque è una soluzione di $y'=A(t)y$, e analogamente tutte le altre colonne.
Essendo che il determinante di $Phi*C$ è non nullo per quanto detto nel primo post le n colonne di $Phi*C$ sono linearmente indipendenti e dunque $Phi*C$ è una matrice risolvente.
Ma non ho usato il teorema di esistenza e unicità dunque non sono convinto che questa sia la strada giusta...sono inciampato da qualche parte?
Comunque ho cercato sul Bramanti, Pagani, Salsa, Analisi matematica 2 (intendevi quello?) ma non ho trovato nulla riguardo la matrice risolvente...
Nel tuo post precedente non hai fatto niente, hai solo ciurlato nel manico. 
Comunque il libro che dico io è il Pagani Salsa vecchia edizione. Se non lo trovi cerca in biblioteca il classico Coddington - Levinson oppure su internet il Teschl.
Comunque il libro che dico io è il Pagani Salsa vecchia edizione. Se non lo trovi cerca in biblioteca il classico Coddington - Levinson oppure su internet il Teschl.
A pagina 83 del Teschl dice che se $U(t)$ è una matrice risolvente allora lo è anche $U(t)C$ dove $C$ è una matrice costante in quanto date due matrici risolventi $U(t)$ e $V(t)$ si ha che $V(t)=U(t)U^-1(t_0)v(t_0)$, ma da dove deriva questa relazione?
Intanto, $U(t)C$ non è una matrice fondamentale ma semplicemente una matrice soluzione del sistema. Quindi capisci da qui che $U(t)[U(t_0)^{-1}V(t_0)]$ è una matrice soluzione, perché la parte in parentesi quadra è costante. Essa coincide con $V(t)$ per il teorema di unicità: siccome le due matrici coincidono al tempo $t=t_0$, per unicità devono coincidere per tutti i tempi.
Ok, adesso questa parte mi è chiara, grazie! 
Ma perchè $U(t)C$ è una matrice risolvente (o matrice soluzione, come dice il libro)?
Ma perchè $U(t)C$ è una matrice risolvente (o matrice soluzione, come dice il libro)?
Non ci credo che non sai rispondere da solo a questa domanda. Pensa un attimo al caso limite $n=1$. L'equazione è $y'=ay$. Stai dicendo che se \(m\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) è una soluzione allora anche $c\cdot m$ è una soluzione, se $c$ è una costante. Cosa vuoi che cambi, nel caso multidimensionale?
Avevo proposto:
Intendendo che quindi la matrice $PhiC$ ha le colonne che sono soluzioni di $y'=A(t)y$ ed è dunque la matrice risolvente...ma mi hai scritto che ho ciurlato nel manico
Mmm...potrei chiamare c1,...,cn le colonne di C.
Dico che la prima colonna di $PhiC$ è $Phic_1$ e dunque è una soluzione di $y'=A(t)y$, e analogamente tutte le altre colonne.
Intendendo che quindi la matrice $PhiC$ ha le colonne che sono soluzioni di $y'=A(t)y$ ed è dunque la matrice risolvente...ma mi hai scritto che ho ciurlato nel manico
No, rilancio.
$U(t)C$ è una matrice risolvente perchè, essendo $U(t)$ matrice risolvente si ha che $U'(t)=A(t)U(t)$, dunque $(U(t)C)'=U'(t)C=A(t)U(t)C$.
Abbiamo però perso un po d'occhio l'obbiettivo della discussione...negli ultimi post ci siamo preoccupati di provare che una matrice risolvente, moltiplicata per una matrice costante e invertibile, rimane una matrice risolvente.
Quello che invece dovevamo dimostrare è che ogni matrice risolvente si ottiene da una qualunque matrice risolvente moltiplicandola per una matrice costante e invertibile. Quindi non abbiamo ottenuto quello che volevamo, indizi a riguardo?
$U(t)C$ è una matrice risolvente perchè, essendo $U(t)$ matrice risolvente si ha che $U'(t)=A(t)U(t)$, dunque $(U(t)C)'=U'(t)C=A(t)U(t)C$.
Abbiamo però perso un po d'occhio l'obbiettivo della discussione...negli ultimi post ci siamo preoccupati di provare che una matrice risolvente, moltiplicata per una matrice costante e invertibile, rimane una matrice risolvente.
Quello che invece dovevamo dimostrare è che ogni matrice risolvente si ottiene da una qualunque matrice risolvente moltiplicandola per una matrice costante e invertibile. Quindi non abbiamo ottenuto quello che volevamo, indizi a riguardo?
Devi fare un discorso di condizioni iniziali. Due matrici risolventi sono uguali se e solo se soddisfano la stessa condizione iniziale. Questo riduce il tuo problema a un piccolo esercizio di algebra lineare.
Potrei usare il fatto che so che esiste sempre ed è unica una matrice risolvente $Phi(t)$ tale che $Phi(t_0)=1_n$.
Se cerco una matrice risolvente $Psi(t)$ che soddisfa alla condizione iniziale $Psi(t_0)=C$ allora posso scegliere $Psi(t)=Phi(t)C$ in modo che $Psi(t_0)=Phi(t_0)C=1_nC=C$ ed anche questa è unica (per il teorema di esistenza e unicità).
Ci stiamo avvicinando?
Se cerco una matrice risolvente $Psi(t)$ che soddisfa alla condizione iniziale $Psi(t_0)=C$ allora posso scegliere $Psi(t)=Phi(t)C$ in modo che $Psi(t_0)=Phi(t_0)C=1_nC=C$ ed anche questa è unica (per il teorema di esistenza e unicità).
Ci stiamo avvicinando?
Ma si, è questo il concetto. Ora attenzione perché "matrice risolvente" ha cambiato significato nel corso del thread, perché mi pare che il libro di Teschl non richieda l'invertibilità. ( Senza invertibilità il risultato è falso. )
Puoi tranquillamente enunciare e dimostrare la tua proposizione da solo, ora, senza bisogno di ulteriori aiuti.
Puoi tranquillamente enunciare e dimostrare la tua proposizione da solo, ora, senza bisogno di ulteriori aiuti.
Definizione: si dice matrice risolvente del sistema omogeneo $y'(t)=A(t)y(t)$ una matrice $Phi(t)=[phi_1(t),...,phi_n(t)]$ invertibile e tale che $phi_j'(t)=A(t)phi_j(t)$ $AAj\in{1,...,n}$.
Proposizione: sia $Phi(t)$ una matrice risolvente del sistema $y'(t)=A(t)y(t)$, allora ogni altra matrice risolvente di questo sistema è del tipo $Phi(t)C$ con $C\inM_n(CC)$.
Dimostrazione: sia $Psi(t)$ una generica matrice risolvente di $y'(t)=A(t)y(t)$. Si pone $H=Psi(t_0)$ e dunque $det(H)!=0$.
Per il teorema di (esistenza e) unicità la matrice risolvente $Psi(t)$ è l'unica a soddisfare alle condizioni iniziali $Psi(t_0)=H$.
Si pone $K=Phi(t_0)$ ($K$ è invertibile perchè è una matrice risolvente calcolata in $t_0$, dunque $det(K)!=0$), dunque $Phi(t_0)K^-1=1_n$ e $Phi(t_0)K^-1H=H$.
Posto $C=K^-1H$ si ha che $Psi(t)=Phi(t)C$ e $det(C)=det(H)/det(K)!=0$.
Durante il thread avevo un po perso di vista la direzione da seguire mi sa...ora dovrebbe andare bene, confermi?
Proposizione: sia $Phi(t)$ una matrice risolvente del sistema $y'(t)=A(t)y(t)$, allora ogni altra matrice risolvente di questo sistema è del tipo $Phi(t)C$ con $C\inM_n(CC)$.
Dimostrazione: sia $Psi(t)$ una generica matrice risolvente di $y'(t)=A(t)y(t)$. Si pone $H=Psi(t_0)$ e dunque $det(H)!=0$.
Per il teorema di (esistenza e) unicità la matrice risolvente $Psi(t)$ è l'unica a soddisfare alle condizioni iniziali $Psi(t_0)=H$.
Si pone $K=Phi(t_0)$ ($K$ è invertibile perchè è una matrice risolvente calcolata in $t_0$, dunque $det(K)!=0$), dunque $Phi(t_0)K^-1=1_n$ e $Phi(t_0)K^-1H=H$.
Posto $C=K^-1H$ si ha che $Psi(t)=Phi(t)C$ e $det(C)=det(H)/det(K)!=0$.
Durante il thread avevo un po perso di vista la direzione da seguire mi sa...ora dovrebbe andare bene, confermi?
Ok
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