Matrice jacobiana di funzione composta

[Cate.98.]

ciao a tutti,
avrei bisogno di aiuto con il seguente esercizio:

Data la seguente funzione (ben definita e differenziabile), scrivere la matrice Jacobiana della funzione composta g nel generico punto indicato.

$f: R^2->R^3, t∈R, g(t)=f(t, arctan(t))$



Ho trovato il gradiente di $f(t)$ ma non riesco a proseguire con l'esercizio.
In particolare non riesco a capire come sia possibile che $f$ prenda una funzione di $R^2$ e la mandi in $R^3$ .

Grazie mille

[solaàl]

Ci sono due funzioni: \(\gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\) e \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\), la seconda è definita in qualche modo che non ti è dato, denotalo \((f_1(x,y), f_2(x,y),f_3(x,y))\). La prima è definita da \(\gamma(t)=(t,\arctan t)\).

Ora, se sai derivare l'una e l'altra funzione, sai derivare la composizione: \(D(f\circ\gamma) = Df . \gamma'\), con ciò intendendo che \(Df =
\left(
\begin{smallmatrix}
f_{1,x} & f_{1,y} \\
f_{2,x} & f_{2,y} \\
f_{3,x} & f_{3,y} \\
\end{smallmatrix}
\right)
\) e \(\gamma'(t)=(1,\arctan' t)\), dove ho scritto \(f_{i,x}=\frac{\partial f_i}{\partial x}\). Hai fatto un prodotto di matrici, in un certo senso.

[Cate.98.]

Ok. Credo sia tutto chiaro. è quindi corretto dire che la Jacobiana avrà 3 elementi?
L'esercizio si conclude facendo il prodotto?

[feddy]

"ccc":è quindi corretto dire che la Jacobiana avrà 3 elementi?

no, la jacobiana è una matrice, quindi semmai ha $9$ elementi. Forse intendevi che ha i tre gradienti per righe...