Matrice Hessiana: autovalori e autospazi
Salve a tutti! Mi sono appena iscritta al forum mossa da un quesito che mi sta facendo impazzire!!
La mia prof. di Analisi 2 ha detto che, dato un autovalore della matrice Hessiana calcolata in x0, se l'autovalore è positivo allora la funzione ristretta all'autospazio (relativo a quel dato autovalore) è convessa ed x0 è punto di minimo per la funzione ristretta all'autospazio.
Qualcuno potrebbe spiegarmi il motivo?
Anche perchè ho svolto un esercizio e non mi ritrovo per niente con questa affermazione.
Grazie a chi risponderà!
La mia prof. di Analisi 2 ha detto che, dato un autovalore della matrice Hessiana calcolata in x0, se l'autovalore è positivo allora la funzione ristretta all'autospazio (relativo a quel dato autovalore) è convessa ed x0 è punto di minimo per la funzione ristretta all'autospazio.
Qualcuno potrebbe spiegarmi il motivo?
Anche perchè ho svolto un esercizio e non mi ritrovo per niente con questa affermazione.
Grazie a chi risponderà!
Risposte
Beh, posta l'esempio... 
quindi quel che dice lei è corretto?
comunque l'esempio è questo:
f(x,y)=(x^2)+(y^2)-(2xy)+(y^3)-(8x^3)-(6xy^2)+(12yx^2)
gli autovalori che ha trovato la prof. sono 0 e 4, e su 4 io non mi trovo con ciò che ha detto lei.
comunque l'esempio è questo:
f(x,y)=(x^2)+(y^2)-(2xy)+(y^3)-(8x^3)-(6xy^2)+(12yx^2)
gli autovalori che ha trovato la prof. sono 0 e 4, e su 4 io non mi trovo con ciò che ha detto lei.
In quale punto calcoli l’hessiana?
Per caso in $(0,0)$?
Com’è l’hessiana? Quali sono autovalori ed autospazi?
E perché non ti trovi? Che ti viene fuori restringendo la funzione all’autospazio?
Per caso in $(0,0)$?
Com’è l’hessiana? Quali sono autovalori ed autospazi?
E perché non ti trovi? Che ti viene fuori restringendo la funzione all’autospazio?
La professoressa ha fatto l'esercizio, questo è quello che ha fatto:
-) punto critico (0,0), trovato tramite il gradiente imposto uguale a 0;
-) trovato che determinante dell'Hessiana è 0;
-) abbiamo calcolato gli autovalori e sono 0 e 4;
-) senza dimostrare nulla la prof. ha detto: "La funzione ristretta all'autospazio relativo all'autovalore 4 è convessa, pertanto ha in (0,0) punto di minimo" (questo è quello che non capisco);
-) calcolato la restrizione della funzione all'autospazio relativo al valore nullo, per il quale (0,0) non è nè di massimo nè di minimo;
-) siamo giunti alla conclusione che (0,0) è punto di sella per la funzione.
Il procedimento lo capisco e so farlo.... quel che non comprendo è perchè se l'autovalore è positivo, allora la funzione ristretta al suo autospazio è convessa... Sto impazzendo! Purtroppo non ha dimostrato nulla, l'ha solo detto!
Inoltre io ho provato, per conto mio (perchè la prof non l'ha fatto), a calcolare l'autospazio relativo all'autovalore 4 e mi esce generato dal vettore (x,-x). E la funzione non è affatto convessa se ristretta a tale autospazio!
-) punto critico (0,0), trovato tramite il gradiente imposto uguale a 0;
-) trovato che determinante dell'Hessiana è 0;
-) abbiamo calcolato gli autovalori e sono 0 e 4;
-) senza dimostrare nulla la prof. ha detto: "La funzione ristretta all'autospazio relativo all'autovalore 4 è convessa, pertanto ha in (0,0) punto di minimo" (questo è quello che non capisco);
-) calcolato la restrizione della funzione all'autospazio relativo al valore nullo, per il quale (0,0) non è nè di massimo nè di minimo;
-) siamo giunti alla conclusione che (0,0) è punto di sella per la funzione.
Il procedimento lo capisco e so farlo.... quel che non comprendo è perchè se l'autovalore è positivo, allora la funzione ristretta al suo autospazio è convessa... Sto impazzendo! Purtroppo non ha dimostrato nulla, l'ha solo detto!
Inoltre io ho provato, per conto mio (perchè la prof non l'ha fatto), a calcolare l'autospazio relativo all'autovalore 4 e mi esce generato dal vettore (x,-x). E la funzione non è affatto convessa se ristretta a tale autospazio!
forse ho sbagliato a calcolare l'autospazio? Comunque ho dimenticato di dire che l'autospazio relativo all'autovalore nullo è generato dal vettore (x,x). Ma non credo sia importante ai fini della mia domanda...
Ciao Laura250216.
Benvenuta sul forum!
Potrebbe farti comodo osservare che la funzione proposta si può anche scrivere nel modo seguente:
$z = f(x, y) = (x - y)^2 + (y - 2x)^3 $
Quindi si ha:
$(del f)/(del x) = 2x - 2y - 6(y - 2x)^2$
$(del f)/(del y) = 3(y - 2x)^2 - 2x + 2y$
Da cui il sistema seguente:
$ {(2x - 2y - 6(y - 2x)^2 = 0),(3(y - 2x)^2 - 2x + 2y = 0):} $
Quest'ultimo porge l'unico punto critico $O(0, 0) $
Poi si ha:
$(del^2 f)/(del x^2) = 2(1 - 24x + 12y) $
$(del^2 f)/(del x del y) = (del^2 f)/(del y del x) = 2(12x - 6y - 1) $
$(del^2 f)/(del y^2) = 2(1 - 6x + 3y) $
Pertanto la matrice hessiana è la seguente:
$H[P(x,y)] = [[2(1 - 24x + 12y),2(12x - 6y - 1)],[2(12x - 6y - 1),2(1 - 6x + 3y)]] $
Da cui
$H[O(0,0)] = [[2, - 2],[- 2,2]] $
Innanzitutto si vede che $det{H[O(0,0)]} = 0 $
Per determinare gli autovalori di $H[O(0,0)] $ occorre risolvere l'equazione seguente:
$ det{H[O(0,0)] - \lambda I} = 0 $
$det[[2 - \lambda, - 2],[- 2,2 - \lambda]] = 0 $
$(2 - \lambda)^2 - 4 = 0 $
$4 - 4\lambda + \lambda^2 - 4 = 0 $
$\lambda^2 - 4\lambda = 0 $
$\lambda(\lambda - 4) = 0 $
Da cui $\lambda_1 = 0 $ e $\lambda_2 = 4 $
Benvenuta sul forum!
"Laura250216":
f(x,y)=(x^2)+(y^2)-(2xy)+(y^3)-(8x^3)-(6xy^2)+(12yx^2)
Potrebbe farti comodo osservare che la funzione proposta si può anche scrivere nel modo seguente:
$z = f(x, y) = (x - y)^2 + (y - 2x)^3 $
Quindi si ha:
$(del f)/(del x) = 2x - 2y - 6(y - 2x)^2$
$(del f)/(del y) = 3(y - 2x)^2 - 2x + 2y$
Da cui il sistema seguente:
$ {(2x - 2y - 6(y - 2x)^2 = 0),(3(y - 2x)^2 - 2x + 2y = 0):} $
Quest'ultimo porge l'unico punto critico $O(0, 0) $
Poi si ha:
$(del^2 f)/(del x^2) = 2(1 - 24x + 12y) $
$(del^2 f)/(del x del y) = (del^2 f)/(del y del x) = 2(12x - 6y - 1) $
$(del^2 f)/(del y^2) = 2(1 - 6x + 3y) $
Pertanto la matrice hessiana è la seguente:
$H[P(x,y)] = [[2(1 - 24x + 12y),2(12x - 6y - 1)],[2(12x - 6y - 1),2(1 - 6x + 3y)]] $
Da cui
$H[O(0,0)] = [[2, - 2],[- 2,2]] $
Innanzitutto si vede che $det{H[O(0,0)]} = 0 $
Per determinare gli autovalori di $H[O(0,0)] $ occorre risolvere l'equazione seguente:
$ det{H[O(0,0)] - \lambda I} = 0 $
$det[[2 - \lambda, - 2],[- 2,2 - \lambda]] = 0 $
$(2 - \lambda)^2 - 4 = 0 $
$4 - 4\lambda + \lambda^2 - 4 = 0 $
$\lambda^2 - 4\lambda = 0 $
$\lambda(\lambda - 4) = 0 $
Da cui $\lambda_1 = 0 $ e $\lambda_2 = 4 $
"pilloeffe":
Ciao Laura250216.
Benvenuta sul forum!
[quote="Laura250216"]f(x,y)=(x^2)+(y^2)-(2xy)+(y^3)-(8x^3)-(6xy^2)+(12yx^2)
Potrebbe farti comodo osservare che la funzione proposta si può anche scrivere nel modo seguente:
$z = f(x, y) = (x - y)^2 + (y - 2x)^3 $
Quindi si ha:
$(del f)/(del x) = 2x - 2y - 6(y - 2x)^2$
$(del f)/(del y) = 3(y - 2x)^2 - 2x + 2y$
Da cui il sistema seguente:
$ {(2x - 2y - 6(y - 2x)^2 = 0),(3(y - 2x)^2 - 2x + 2y = 0):} $
Quest'ultimo porge l'unico punto critico $O(0, 0) $
Poi si ha:
$(del^2 f)/(del x^2) = 2(1 - 24x + 12y) $
$(del^2 f)/(del x del y) = (del^2 f)/(del y del x) = 2(12x - 6y - 1) $
$(del^2 f)/(del y^2) = 2(1 - 6x + 3y) $
Pertanto la matrice hessiana è la seguente:
$H[P(x,y)] = [[2(1 - 24x + 12y),2(12x - 6y - 1)],[2(12x - 6y - 1),2(1 - 6x + 3y)]] $
Da cui
$H[O(0,0)] = [[2, - 2],[- 2,2]] $
Innanzitutto si vede che $det{H[O(0,0)]} = 0 $
Per determinare gli autovalori di $H[O(0,0)] $ occorre risolvere l'equazione seguente:
$ det{H[O(0,0)] - \lambda I} = 0 $
$det[[2 - \lambda, - 2],[- 2,2 - \lambda]] = 0 $
$(2 - \lambda)^2 - 4 = 0 $
$4 - 4\lambda + \lambda^2 - 4 = 0 $
$\lambda^2 - 4\lambda = 0 $
$\lambda(\lambda - 4) = 0 $
Da cui $\lambda_1 = 0 $ e $\lambda_2 = 4 $[/quote]
ti ringrazio davvero tanto ma, come ho detto più volte, la risoluzione dell'esercizio è stata già fatta dalla mia prof.
La mia domanda è questa (pt.3) : perchè se un autovalore è positivo, allora la funzione ristretta al suo autospazio è convessa??
Probabilmente hai sbagliato qualche conto quando hai calcolato la restrizione, perciò ti ho chiesto di riportare i tuoi calcoli (di quelli della docente te ne dovrebbe importare poco o nulla).
La restrizione di $f$ all'autoapazio $E_4$ dell'hessiana è:
$phi(y):= f(-y,y) = 4y^2 + 27y^3$
che è localmente convessa intorno a $0$ (ha derivata seconda positiva).
La restrizione di $f$ all'autoapazio $E_4$ dell'hessiana è:
$phi(y):= f(-y,y) = 4y^2 + 27y^3$
che è localmente convessa intorno a $0$ (ha derivata seconda positiva).
"gugo82":
Probabilmente hai sbagliato qualche conto quando hai calcolato la restrizione, perciò ti ho chiesto di riportare i tuoi calcoli (di quelli della docente te ne dovrebbe importare poco o nulla).
La restrizione di $f$ all'autoapazio $E_4$ dell'hessiana è:
$phi(y):= f(-y,y) = 4y^2 + 27y^3$
che è localmente convessa intorno a $0$ (ha derivata seconda positiva).
mi è uscito lo stesso autospazio, ma ho scritto -27 invece di +27, errore di segno
grazie mille. ma nessuno ha ancora risposto alla mia domanda... questo è un esempio specifico... il motivo per il quale questa cosa vale per autovalori positivi qual è?
Se $x_0$ è autovalore con molteplicità $1$ e autovettore relativo $v$ per $H_f$, così su due piedi mi metterei a studiare $f(x_0 + t v ) - f(x_0)= t^2 v^T Hf(x_0) v + o(|v|^2)$ e userei il fatto che $Hf(x_0)v = \lambda v$, con $\lambda >0$
"feddy":
Se $ x_0 $ è autovalore con molteplicità $ 1 $ e autovettore relativo $ v $ per $ H_f $, così su due piedi mi metterei a studiare $ f(x_0 + t v ) - f(x_0)= t^2 v^T Hf(x_0) v + o(|v|^2) $ e userei il fatto che $ Hf(x_0)v = \lambda v $, con $ \lambda >0 $
Ci penserò su! Grazie mille per lo spunto!
Record! 
[ot]Purtroppo rispondere citando (inutilmente e fastidiosamente) tutto il messaggio precedente invece di rispondere semplicemente sta diventando una moda ma farlo doppio è da grandi
[/ot]
[ot]Purtroppo rispondere citando (inutilmente e fastidiosamente) tutto il messaggio precedente invece di rispondere semplicemente sta diventando una moda ma farlo doppio è da grandi
[/ot]
"axpgn":
Record!
[ot]Purtroppo rispondere citando (inutilmente e fastidiosamente) tutto il messaggio precedente invece di rispondere semplicemente sta diventando una moda ma farlo doppio è da grandi
Il messaggio è di oggi venerdì 30/04/2021: se si impegna può ancora modificarlo eliminando almeno il doppione...
"Laura250216":
Inoltre io ho provato, per conto mio (perchè la prof non l'ha fatto), a calcolare l'autospazio relativo all'autovalore 4 e mi esce generato dal vettore (x,-x). E la funzione non è affatto convessa se ristretta a tale autospazio!
A te interessa l'intorno centrato nell'origine della funzione $f(x,y)$ ristretta lungo la direzione che hai trovato, ovvero $y=-x$ che il piano che la "affetta".
$f(x,-x)=4x^2-27x^3$
$f'(x,-x)=8x-81x^2$ ed effettivamente $f'(0,0)=0$ quindi l'origine è un punto critico.
$f''(x,-x)=8-162x$ ed effettivamente $f''(0,0)=8>0$ quindi la concavità nell'intorno dell'origine è positiva.
Ergo, l'origine, nella restrizione, è un punto di minimo.
"axpgn":
Record!
[ot]Purtroppo rispondere citando (inutilmente e fastidiosamente) tutto il messaggio precedente invece di rispondere semplicemente sta diventando una moda ma farlo doppio è da grandi
Mi sono appena iscritta e ho sbagliato perchè non sono molta pratica dei forum
grazie per la puntualizzazione, sei un grande Mi auguro di non averti infastidito citando il tuo messaggio!
Per rispondere si usa il tasto "RISPONDI" mentre il tasto "CITA" serve per quotare specifiche parti o frasi che vuoi evidenziare; in quest'ottica citare tutto un messaggio non ha molto senso se poi è proprio quello precedente la ridondanza è evidente.
Ma non è solo inutile, può essere fastidioso, perfino irritante, quando chi ti legge si sforza di cogliere nel testo citato ciò che volevi mettere in rilievo e quando arriva alla fine, magari lungo una pagina intera, e non trova niente di nuovo, non rimane molto contento
Se vuoi rispondere esplicitamente a qualcuno in particolare ma non hai necessità di sottolineare nulla, ti basta scrivere il nome del tuo interlocutore preceduto dal simbolo @
Cordialmente, Alex
P.S.: Non scordarti di fare l'anteprima
Ma non è solo inutile, può essere fastidioso, perfino irritante, quando chi ti legge si sforza di cogliere nel testo citato ciò che volevi mettere in rilievo e quando arriva alla fine, magari lungo una pagina intera, e non trova niente di nuovo, non rimane molto contento
Se vuoi rispondere esplicitamente a qualcuno in particolare ma non hai necessità di sottolineare nulla, ti basta scrivere il nome del tuo interlocutore preceduto dal simbolo @
Cordialmente, Alex
P.S.: Non scordarti di fare l'anteprima
Innanzitutto ti ringrazio della spiegazione inaspettatamente cordiale, ma ora mi domando: era necessario essere così scortesi prima, con un anche un pizzico di offesa? 
Potevi esprimerti direttamente così. Altrimenti anche tu risulti irritante ai miei occhi, no?
Ora smetto di polemizzare, la discussione era nata per ben altra motivazione, ed è stata ampiamente soddisfacente.
Ringrazio di nuovo tutti quanti!
Potevi esprimerti direttamente così. Altrimenti anche tu risulti irritante ai miei occhi, no? Ora smetto di polemizzare, la discussione era nata per ben altra motivazione, ed è stata ampiamente soddisfacente.
Ringrazio di nuovo tutti quanti!
Ritornando IT, vediamo di rispondere alla tua curiosità circa la convessità sull'autospazio.
Diciamo che $f(x,y)$ è tale che:
Diciamo che $f(x,y)$ è tale che:
- [*:skck656e] $f(0,0) = 0$
[/*:m:skck656e]
[*:skck656e] $f$ di classe $C^2$ intorno a $(0,0)$
[/*:m:skck656e]
[*:skck656e] $(0,0)$ è un punto critico (i.e., $nabla f(0,0) =(0,0)$)[nota]Le prime tre condizioni non sono restrittive: infatti, se il punto stazionario è in $(x_0,y_0)$ ed $f(x_0,y_0) = z_0 != 0$, con un cambiamento lineare di variabili ed una traslazione ci si riconduce facilmente alla situazione descritta.[/nota]
[/*:m:skck656e]
[*:skck656e] $mathbf(v) = (a,b)$ è un autovettore dell'hessiana $H_(f) (0,0)$ associato all'autovalore semplice $lambda !=0$[/*:m:skck656e][/list:u:skck656e]
L'autospazio $E_lambda$ è costituito dai vettori $(a t, b t)$ con $t in RR$ e la restrizione di $f$ all'autospazio è:
$phi(t) = f(a t, b t)$;
chiaramente $phi$ è di classe $C^2$ in un intorno di $t=0$ e risulta:
$phi^\prime (0) = nabla f (0,0) * mathbf(v) = 0$
$phi^{\prime \prime} (0) = mathbf(v) * (H_(f)(0,0) mathbf(v)) = mathbf(v) * (lambda mathbf(v)) = lambda norm(mathbf(v))^2 != 0$[nota]Ricorda che un autovettore $mathbf(v)$ è, per definizione, diverso dal vettore nullo $mathbf(0)$.[/nota]
ed il Criterio di Convessità per funzioni di una variabile implica che $phi$ è convessa [risp. concava] intorno a $0$ non appena $lambda > 0$ [risp. $< 0$].
@ ragazzi: Diverte vedere qualcuno più realista del re...
P.S.: Occhio, però... Se il punto stazionario non è in $(0,0)$, devi considerare la restrizione alla retta affine passante per il punto critico ed avente la direzione dell'autospazio.
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