Matrice hessiana

[enr87]

se provo a calcolare la matrice hessiana in (x,y) di una determinata funzione, e questa non esce simmetrica (quindi evidentemente f non è differenziabile due volte, vedi t. di schwartz) sbaglio o in tal caso non posso affermare se i punti in cui la calcolo sono di massimo/minimo/sella?

questo dubbio mi sorge da un esercizio svolto in classe, la cui soluzione non mi sembrava corretta:

ho questa funzione:
[tex]f(x,y) = (y-x^2)(y-2x^2)[/tex] con [tex](x,y) \in \Re^2[/tex]

devo cercare massimi e minimi liberi. per prima cosa ho trovato il gradiente: [tex]\grad f(x,y) = (-6xy + 8x^3, 2y - 3x^2)[/tex]. la derivata rispetto a x è nulla per $ x = 0 \ V \ y = 4/3x^2 $ mentre quella rispetta a y per $ y =3/2x^2 $, quindi deduco che il gradiente è nullo nell'origine (giusto fin qua?)

dopo quando provo a calcolare la hessiana mi esce questo:
[tex]\begin{bmatrix} -6y + 24x^2 & -6x \\ -6x & 2
\end{bmatrix}[/tex]

al mio prof la matrice non usciva simmetrica, quindi penso avesse sbagliato qualche conto se non ne ho sbagliati io. comunque sia, nell'origine gli usciva questa matrice:
[tex]\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2
\end{bmatrix}[/tex]
che casualmente risulta simmetrica. lui poi ha detto che questa è semidefinita positiva e che (0,0) è di sella oppure di minimo (poi abbiamo visto essere di sella). ma visto che la hessiana deve essere simmetrica, date le sue ipotesi (e dunque escludendo il fatto che la matrice in (0,0) sia effettivamente quella) poteva affermare ciò?

[dissonance]

Ma non ho capito perché ti stupisci che la matrice venga simmetrica. Guarda che la tua funzione è un polinomio in due variabili e come tale è di classe $C^\infty$, quindi abbondantemente di classe $C^2$ e sei nelle ipotesi del teorema di Schwarz.

[enr87]

no forse mi sono spiegato male: quel procedimento che ho postato è il mio, non quello del mio prof, al quale la hessiana non veniva simmetrica
la domanda è, visto che a lui la matrice hessiana non veniva simmetrica, se poteva (cioè se era lecito) poi dire che in (0,0) aveva un minimo o una sella..

[dissonance]

Allora cerchiamo di riformulare la tua domanda. Se ho capito bene tu chiedi: se una funzione reale di più variabili reali dovesse risultare avere matrice Hessiana non simmetrica in un punto critico, possiamo ancora usare i criteri soliti per stabilire la natura del punto stesso?

Se interpreto bene, mi pare che la risposta sia si. Prova a riguardare nella dimostrazione di quei due criteri e vedi se richiede la simmetria della matrice: mi pare di no. Se hai difficoltà posta che ne riparliamo.

[enr87]

sì la domanda è questa.
in realtà il dubbio deriva da un punto: il criterio mette per ipotesi che la funzione sia differenziabile due volte, ma se è differenziabile due volte allora la matrice hessiana risulta per forza simmetrica, perchè per il t di schwartz accennato sopra, derivare prima secondo x e poi secondo y, è come derivare prima secondo y e poi secondo x..

edit:
potresti dare un'occhiata veloce per vedere se ho sbagliato qualcosa sopra nel calcolo della matrice?

[dissonance]

"enr87":sì la domanda è questa.
in realtà il dubbio deriva da un punto: il criterio mette per ipotesi che la funzione sia differenziabile due volte, ma se è differenziabile due volte allora la matrice hessiana risulta per forza simmetrica[...]

E lo so, ho capito. Infatti nei libri in genere non si tratta il caso in cui una funzione sia derivabile due volte ma con la matrice Hessiana non simmetrica, perché non è rilevante per le applicazioni ed è più seccante.

Quello che ti dicevo era di controllare le dimostrazioni dei criteri per vedere se fanno effettivamente uso dell'ipotesi che $f$ è differenziabile due volte o se questa può essere rimossa. Mi ricordo che tempo fa mi convinsi del fatto che questa ipotesi potesse essere rimossa, ma non ricordo se era una cosa immediata o se c'era da fare del lavoro.

[enr87]

per la dimostrazione usano lo sviluppo di taylor fino al secondo differenziale, quindi desumo sia un'ipotesi necessaria. probabilmente hai ragione tu, sta di fatto che io non ne vengo a capo

[dissonance]

Si, si, adesso mi ricordo. Volendo, puoi risparmiarti di richiedere che la funzione sia differenziabile due volte ma devi richiedere che essa sia derivabile direzionalmente due volte lungo tutte le direzioni e poi ragionare in termini di curve. E' abbastanza incasinato e sostanzialmente non te ne fai nulla, perché la teoria "vera" è con i differenziali secondi ed è più che sufficiente. (Anzi, per me è sufficiente la teoria $C^2$).

[enr87]

ho capito l'intuizione ma non mi addentro in particolari. spero non mi capiti all'esame una hessiana non simmetrica..
grazie per i chiarimenti!

[dissonance]

Se ti dovesse capitare una Hessiana non simmetrica probabilmente starai avendo a che fare con una funzione particolare, per la quale i metodi standard non avrebbero funzionato comunque. Niente che riguardi un normale esame di Analisi. Ah, ho controllato i tuoi calcoli del primo post, sono corretti.

P.S.: Per verificare i conti consiglio vivamente un software di calcolo simbolico. Eventualmente puoi usare Wolfram Alpha: http://www76.wolframalpha.com/examples/Math.html

[enr87]

ma calcola direttamente anche le hessiane o devo fare per forza le singole derivate miste?

[dissonance]

Mathematica ha un comando per calcolare direttamente le Hessiane, il sito non saprei...

[enr87]

vabè, faccio lo stesso anche col sito.
grazie mille!