Matrice Hessiana

[Dieselprogres]

Salve a tutti,
Ho dei forti dubbi per quanto riguarda il legame tra punto di minimo (o massimo) e la matrice hessiana.
se ho un punto stazionario in cui la matrice hessiana è SEMIDEFINITA POSITIVA io non posso dire nulla riguardo a quel punto (solo che è un candidato ad essere un minimo) mentre se la matrice è semidefinita positiva IN UN INTORNO di quel punto allora posso dire che è un punto di minimo (tralasciando considerazioni riguardo la globalità). Ora la mia domanda è: operativamente, quindi tralasciando la definizione, quando mi rendo conto che la matrice mi sta fornendo informazioni riguardo il punto o in un intorno di quel punto?

Grazie in anticipo a chi risponderà!

[billyballo2123]

Il fatto è che a te, per poter dire che $\underline{x}_0$ è un punto di minimo relativo, ti serve SEMPRE che la matrice sia semidefinita positiva in un intorno di $\underline{x}_0$. Quindi operativamente può succedere che:
1) La matrice Hessiana è DEFINITA POSITIVA in $\underline{x}_0$. Questo significa che è definita positiva anche in un intorno di $\underline{x}_0$ (quindi è punto di minimo relativo).
Es: $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ definita come $f(x_1,x_2)=\frac{1}{4}x_1^4+x_1+x_2^2$ e $\underline{x}_0=(-1,0)$; si ha che $\underline{x}_0$ è un punto stazionario, e
\[
H_f(-1,0)=
\begin{bmatrix}
3 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix},
\]
dunque la matrice Hessiana è definita positiva (ed essendo $f$ di classe $C^2$ lo è anche in un intorno di $\underline{x}_0$). Quindi $(-1,0)$ è punto di minimo.

2) La matrice Hessiana è SEMIDEFINITA POSITIVA in $\underline{x}_0$, però riesci a dimostrare che è semidefinita positiva anche in un intorno di $\underline{x}_0$.
Es: $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ definita come $f(x_1,x_2)=x_1^4+x_2^2$ e $\underline{x}_0=(0,0)$; si ha che $\underline{x}_0$ è un punto stazionario e
\[
H_f(0,0)=
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix},
\]
però per ogni $(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$ si ha che
\[
H_f(x_1,x_2)=
\begin{bmatrix}
12x_1^2 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix},
\]
dunque la matrice Hessiana è semidefinita positiva in un intorno di $(0,0)$ (in realtà lo è su tutto $\mathbb{R}^2$). Quindi $(0,0)$ è punto di minimo.

3) La matrice Hessiana è SEMIDEFINTA POSITIVA IN $\underline{x}_0$, ma non riesci a dimostrare che lo è anche in un intorno di $\underline{x}_0$. In questo caso non puoi concludere niente. Devi usare altri approcci per capire se è un punto di minimo o no.

[Dieselprogres]

Prima di tutto ti ringrazio per avermi risposto. Ora mi quadra meglio un pò tutto e mi sto sbattendo un pò per cercare una funzione che sia semidefinita positiva nel punto ma non nell'intorno perchè questo è il concetto più ostico.

[billyballo2123]

\[
f(x_1,x_2)=-x_1^4+x_2^2
\]