Matrice hessiana 0

[s904s]

Salve , volevo chiedere come devo procedere nel caso ho una matrice hessiana semidefinita positiva o negativa come faccio a stabilire il punto di massimo o minimo?
Grazie

[Fioravante Patrone1]

"TeM":In tali casi non ci sono teoremi che indicano una strada sicura da seguire, bisogna fare uno studio locale della funzione. La via maestra è ricorrere alla definizione di massimo/minimo relativo. In particolare, data la funzione \(f(x, \;y)\) con \(P_0=(x_0, \; y_0)\) uno suo punto critico, segue che:
1. se \(f(x_0, \; y_0) \ge f(x,\;y)\) per \(\forall \, x,y \in\) intorno di \(P_0\), allora \(P_0\) è un massimo relativo per \(f\) ;
2. se \(f(x_0, \; y_0) \le f(x,\;y)\) per \(\forall \, x,y \in\) intorno di \(P_0\), allora \(P_0\) è un minimo relativo per \(f\) ;
3. se, infine, sono soddisfatti sia il punto 1. che il punto 2. allora, per definizione, \(P_0\) si dirà di sella per \(f\).
Il problema è che, in certi casi, la risoluzione di tali disequazioni non è affatto semplice, anzi, tutt'altro! Per questo bisogna un po' ingegnarsi cercando, ad esempio, di trovare due restrizioni di \(f\) passanti per \(P_0\) lungo le quali si riscontrano in un caso un minimo in \(P_0\) mentre nell'altro un massimo. Allora, necessariamente, \(P_0\) sarà un punto di sella. In ogni modo, tramite la funzione Cerca presente in alto alla pagina a destra, prova a cercare "hessiano nullo" e troverai una marea di topic in cui se ne è già discusso.

Qualche precisazione.
a) non userei "segue che", visto che 1) e 2) sono le def rispettivamente di p.to di max e di min (relativo o locale che dir si voglia), indipendentemente da qualsiasi altra condizione, soddisfatta o meno. In particolare, che \(P_0\) sia punto critico è irrilevante, dal punto di vista delle definizioni
b) le definizioni date non sono le definizioni di massimo/minimo locale, ma di punto di massimo/minimo locale
c) io preciserei in 1) e 2), che deve esistere un intorno di P_0 t.c. bla bla. Ovvero, ad esempio per la 1):
se esiste un intorno \(V\) di \(P_0\), t.c. \(f(x_0, \; y_0) \ge f(x,\;y)\) per ogni \( (x,y) \in V\) , allora \(P_0\) è un punto di massimo locale (o relativo che dir si voglia) per \(f\) (e \( f(x_0, \; y_0) \) è un massimo locale)
d) se sono soddisfatte 1) e 2) segue che f è localmente costante
e) io ho sempre un po' di timore nell'usare il termine "punto di sella", perché ci sono un po' di definizioni diverse in giro. A volte addirittura si richiede che la forma hessiana sia indefinita
f) se $f$ non fosse definita su tutto $R^2$, ma su un s.i. $A$, bisognerebbe precisare un po' di cose