Matrice esponenziale e proiezione ortogonale in sistemi LTI
salve,
supponendo di avere un sistema LTI con matrice dinamica $A$ e la cui risposta in evoluzione libera può essere scritta come:
$ x_l(t) = sum_(i = 1) ^n u_ie^(lambda_it)v_i^Tx_0 = sum_(i = 1) ^n u_ie^(lambda_it)c_i $
con $u_i$ vettore colonna i-esimo della matrice $U$ degli autovettori di $A$,
$lambda_i$ autovalore i-esimo della matrice dinamica,
$v_i^T$ vettore riga della matrice $V := U^(-1)$,
$x_0$ stato iniziale,
$ c_i = v_i^Tx_0 $.
Il dubbio che ho sta nel fatto che il prof ha affermato che $c_i$ è la proiezione ortogonale di $x_0$ sull' autovettore i-esimo $u_i$. I calcoli della dimostrazione di questa affermazione li ho capiti, nel caso di autovalori reali e distinti gli autovettori costituiscono una base per cui si può scrivere lo stato iniziale come loro combinazione lineare:
$ x_0 = sum_(i = 1) ^n c_i u_i $ ,
quindi il prodotto
$ v_j^Tx_0 = v_j^Tsum_(i = 1) ^n c_i u_i = c_j $ .
Ottenuto questo risultato il prof considera dimostrata l' affermazione, sull'assunzione che gli scalari della combinazione lineare sono le proiezioni lungo i corrispondenti vettori della base: quello che non mi spiego è che, secondo me, questo è vero solo per autovettori di norma unitaria o mi sbaglio? delucidatemi per piacere.
Infatti se considero per esempio il piano cartesiano, un qualsiasi vettore può essere scritto come
$ v = x hat(i) + yhat(j) $
con $x$ e $y$ proiezioni lungo i versori $hat(i)$ e $hat(j)$;
se invece considero come nuova base i vettori $2hat(i)$ e $2hat(j)$,il vettore lo riscrivo come:
$ v = x/2 (2hat(i)) + y/2(2hat(j)) $
quindi i nuovi coefficienti $x/2$ e $y/2$ evidentemente NON sono le proiezioni ortogonali lungo i nuovi vettori della base ( paralleli ai versori della precedente), perchè dovrebbero essere uguali al caso precedente.
( N.B. per proiezione ortogonale intendo la lunghezza, non il vettore proiezione ortogonale )
supponendo di avere un sistema LTI con matrice dinamica $A$ e la cui risposta in evoluzione libera può essere scritta come:
$ x_l(t) = sum_(i = 1) ^n u_ie^(lambda_it)v_i^Tx_0 = sum_(i = 1) ^n u_ie^(lambda_it)c_i $
con $u_i$ vettore colonna i-esimo della matrice $U$ degli autovettori di $A$,
$lambda_i$ autovalore i-esimo della matrice dinamica,
$v_i^T$ vettore riga della matrice $V := U^(-1)$,
$x_0$ stato iniziale,
$ c_i = v_i^Tx_0 $.
Il dubbio che ho sta nel fatto che il prof ha affermato che $c_i$ è la proiezione ortogonale di $x_0$ sull' autovettore i-esimo $u_i$. I calcoli della dimostrazione di questa affermazione li ho capiti, nel caso di autovalori reali e distinti gli autovettori costituiscono una base per cui si può scrivere lo stato iniziale come loro combinazione lineare:
$ x_0 = sum_(i = 1) ^n c_i u_i $ ,
quindi il prodotto
$ v_j^Tx_0 = v_j^Tsum_(i = 1) ^n c_i u_i = c_j $ .
Ottenuto questo risultato il prof considera dimostrata l' affermazione, sull'assunzione che gli scalari della combinazione lineare sono le proiezioni lungo i corrispondenti vettori della base: quello che non mi spiego è che, secondo me, questo è vero solo per autovettori di norma unitaria o mi sbaglio? delucidatemi per piacere.
Infatti se considero per esempio il piano cartesiano, un qualsiasi vettore può essere scritto come
$ v = x hat(i) + yhat(j) $
con $x$ e $y$ proiezioni lungo i versori $hat(i)$ e $hat(j)$;
se invece considero come nuova base i vettori $2hat(i)$ e $2hat(j)$,il vettore lo riscrivo come:
$ v = x/2 (2hat(i)) + y/2(2hat(j)) $
quindi i nuovi coefficienti $x/2$ e $y/2$ evidentemente NON sono le proiezioni ortogonali lungo i nuovi vettori della base ( paralleli ai versori della precedente), perchè dovrebbero essere uguali al caso precedente.
( N.B. per proiezione ortogonale intendo la lunghezza, non il vettore proiezione ortogonale )
Risposte
"lukixx":
Ottenuto questo risultato il prof considera dimostrata l' affermazione, sull'assunzione che gli scalari della combinazione lineare sono le proiezioni lungo i corrispondenti vettori della base
Questo è esatto.
Stai compiendo due tipi di errore induttivo. Il primo, pensare che per proiezione si intenda automaticamente proiezione ortogonale.
Il secondo è che una base debba per forza essere composta da versori.
Per il secondo punto si può sempre ovviare facilmente, normalizzando gli autovettori ma perchè? Non sempre è utile o necessario farlo per poi dover utilizzare una base composta da vettori con frazioni e radici quando lo scopo del problema non lo richiede.
Per il primo, come ha scritto il prof, sono proiezioni lungo gli assi/autovettori. Se gli assi sono perpendicolari (perchè ad esempio la matrice diagonalizzata è simmetrica) allora sono tutte proiezioni ortogonali, altrimenti ciccia.
Le proiezioni sono esattamente le componenti del vettore espresso rispetto ai rispetti assi/autovettori.
Il vettore nero ha componenti $(1,1,1)$, ovvero $1*u_1+1*u_2+1*u_3$
hai centrato il punto: intendevo le proiezioni come proiezioni ortogonali, ho capito in un secondo momento che la proiezione ( NON ortoganle in generale ) è il coefficiente scalare del relativo vettore della base; poi si, so che una base non deve necessariamente essere composta da versori, ma non capivo proprio perchè non avevo chiaro il significato di proiezione.
grazie
grazie
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