Matrice con parametro ...diagonalizzabile??

[dencer]

Salve!Ho incontrato alcune difficoltà con questo esercizio...spero possiate aiutarmi!Vi spiego il problema!

stabilire per quali k appartenenti ad R la matrice è diagonalizzabile:
(k^2 k+1 )

(0 k+2)

allora io ho risolto l esercizio calcolando il determinante della matrice trovandomi cosi il valore di k che è k= 0 e k=-2
e poi ho sostituito prima k=o nella matrice ottenendo una matrice di cui ho fatto poi |A-lambda I | = 0 e avendo cosi gli autovalori lambda= 0 e lambda=2 quindi per k=0 è diagonalizzabile e poi ho ripetuto lo stesso processo per k= -2....ma non si trova! l risultato finale è k diverso da 2!

Spero di essere stata chiara!...Grazie in anticipo

[ciampax]

Procedimento assolutamente errato: quello che devi verificare è come sono fatti gli autovalori e di conseguenza gli autospazi in generale. La matrice è

[math]A=\left(\begin{array}{ccc}
k^2 & & k+1\\ & & \\ 0 & & k+2
\end{array}\right)[/math]

il cui polinomio caratteristico risulta

[math]p_A(t)=|A-tI|=(k^2-t)(k+2-t)[/math]

Gli autovalori sono, pertanto

[math]t=k^2,\qquad t=k+2[/math]

Ora andiamo a calcolare gli autospazi.

1) per

[math]t=k^2[/math]

abbiamo il sistema

[math]\left\{\begin{array}{l}
(k+1)y=0\\ \\ (k+2-k^2)y=0
\end{array}\right.[/math]

Se entrambi i coefficienti sono non nulli, allora si ha la soluzione

[math](x,0),\ x\in\mathbb{R}[/math]

, e quindi

[math]\dim E_{k^2}=1[/math]

(la dimensione dell'autospazio).

Se uno dei due è nullo si hanno i seguenti casi:

i)

[math]k+1=0[/math]

da cui

[math]k=-1[/math]

e si ha pure

[math]k+2-k^2=0[/math]

e pertanto il sistema è compatibile e ha come soluzioni

[math](x,y)\in\mathbb{R}^2[/math]

, per cui

[math]\dim E_{(-1)^2}=2[/math]

ii) se

[math]k^2-k-2=0[/math]

allora si ha

[math]k=-1,\ k=2[/math]

: il caso

[math]k=-1[/math]

è stato già osservati, mentre se

[math]k=2[/math]

allora la prima equazione risulta

[math]3y=0[/math]

e quindi il sistema è incompatibile.

Ne deduciamo che

[math]\dim E_{k^2}=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & k\not= -1,\ 2\\ 2 & & k=-1\\ \nexists & & k=2
\end{array}\right.[/math]

2) per

[math]t=k+2[/math]

abbiamo il sistema

[math]\left\{\begin{array}{l}
(k^2-k-2)x+(k+1)y=0\\ \\ 0=0
\end{array}\right.[/math]

Ora, la prima equazione si riscrive come

[math](k+1)[(k-2)x+y]=0[/math]

. Pertanto, se

[math]k=-1[/math]

, la prima equazione diventa

[math]0=0[/math]

e si ha

[math]\dim E_{-1+2}=\dim E_1=2[/math]

come prima.

Se invece

[math]k\ne -1[/math]

allora rimane l'equazione

[math](k-2)x+y=0[/math]

le cui soluzioni sono

[math](x,(2-k)x),\ x\in\mathbb{R}[/math]

. In ogni caso, si ha allora che

[math]\dim E_{k+2}=1[/math]

(anche quando

[math]k=2[/math]

e quindi

[math]\dim E_{k+2}=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & k\not= -1\\ & & \\ 2 & & k=-1
\end{array}\right.[/math]

A questo punto, abbiamo diagonalizzabilità solo quando la molteplicità algebrica e quella geoemtrica di un autovalore coincidono, cioè quando l'autovalore, contato come soluzione del polinomio, genera un autospazio di dimensione uguale. Ciò si verifica solo quando gli autospazi hanno entrambi dimensione 1, e quindi quando

[math]k\ne -1,\ 2[/math]