$\mathcal{R}$ denso in $L_1(\mu)$
Ciao a tutti
Avrei bisogno di una dimostrazione che su internet non riesco a trovare. L'enunciato afferma semplicemente:
L'insieme delle funzioni riemann-integrabili [tex]\mathcal{R}[/tex] è denso in [tex]L_1(\mu)[/tex]. Nei miei appunti ho la dimostrazione ma non riesco a venirne a capo. Ho copiato la lezione da un mio amico, purtroppo però non è affatto chiara
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Avrei bisogno di una dimostrazione che su internet non riesco a trovare. L'enunciato afferma semplicemente:
L'insieme delle funzioni riemann-integrabili [tex]\mathcal{R}[/tex] è denso in [tex]L_1(\mu)[/tex]. Nei miei appunti ho la dimostrazione ma non riesco a venirne a capo. Ho copiato la lezione da un mio amico, purtroppo però non è affatto chiara
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Risposte
$mu$ che cos'è...? Presumo sia la misura di Lebesgue su $RR$. Se è così hai davanti molte opzioni. Una, la più utile all'atto pratico, passa dal risultato secondo cui è $C_C(RR)$, lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto, ad essere denso in $L^1$. Nota che questo è molto più di quanto ti serva, perché mostri che un sottospazio proprio di $\mathcal{R}$ è denso in $L^1$.
La dimostrazione è immediata se conosci il teorema di Lusin, altrimenti c'è da smanettare un po' (neanche tanto in verità) con il teorema della convergenza dominata e le cosiddette bump functions ( https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#278018 ).
Un'altra strada (che conosco meno) passa dalle funzioni a scala, intese come funzioni a supporto compatto, costanti a tratti e che assumono un numero finito di valori. Queste funzioni (che sono il prototipo delle funzioni Riemann-integrabili) formano un sottospazio denso in $L^1$. (Anzi una cosa interessante è che la chiusura uniforme dello spazio di queste funzioni è $\mathcal{R}$, mentre la chiusura $L^1$ è $L^1$; questo si può usare per definire l'integrale di Lebesgue).
E sicuramente ci sono molte altre strade. Quale scegli?
La dimostrazione è immediata se conosci il teorema di Lusin, altrimenti c'è da smanettare un po' (neanche tanto in verità) con il teorema della convergenza dominata e le cosiddette bump functions ( https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#278018 ).
Un'altra strada (che conosco meno) passa dalle funzioni a scala, intese come funzioni a supporto compatto, costanti a tratti e che assumono un numero finito di valori. Queste funzioni (che sono il prototipo delle funzioni Riemann-integrabili) formano un sottospazio denso in $L^1$. (Anzi una cosa interessante è che la chiusura uniforme dello spazio di queste funzioni è $\mathcal{R}$, mentre la chiusura $L^1$ è $L^1$; questo si può usare per definire l'integrale di Lebesgue).
E sicuramente ci sono molte altre strade. Quale scegli?
Grazie dissonance, scusami se non ho risposto immediatamente ma ero occupato a seguire un'altra discussione 
Quella che ho io passa per le funzioni semplici che sono dense in [tex]L_1(\mu)[/tex], dopo ciò dimostra che [tex]\mathcal{R}[/tex] è denso nella classe delle funzioni semplici. Mi perdo proprio in quest'ultimo passaggio. Stavo pensando di postare il pezzo di dimostrazione per chiedere chiarimenti, lo farò domani però, ora sono un po' agitato e poco concentrato.
Ancora grazie per la tua disponibilità
Quella che ho io passa per le funzioni semplici che sono dense in [tex]L_1(\mu)[/tex], dopo ciò dimostra che [tex]\mathcal{R}[/tex] è denso nella classe delle funzioni semplici. Mi perdo proprio in quest'ultimo passaggio. Stavo pensando di postare il pezzo di dimostrazione per chiedere chiarimenti, lo farò domani però, ora sono un po' agitato e poco concentrato.
Ancora grazie per la tua disponibilità
Le funzioni semplici intese come funzioni che assumono un numero finito di valori? Non credo, perché tra queste ce ne sono di non Riemann-integrabili. Comunque non ti preoccupare, questo esercizio è facile per uno come te; domani mattina a mente fresca te lo mangi a colazione.
Eccomi di nuovo qui
Per completezza ho deciso di inserire tutta la dimostrazione
Proof: Sia [tex]f\in L_1[/tex] a segno variabile, [tex]f= f^+-f^-[/tex] alora esistono due successioni semplici misurabili tali che
[tex]s_n \uparrow f^+\quad t_n\uparrow f^-[/tex]. Valutiamo:
[tex]||f-(s_n-t_n)||_1 = ||f^+-f^- - s_n+t_n||_1\le ||f^+-s_n||_1+||f^--t_n||_1\longrightarrow0[/tex] (tutto chiaro e semplice qui).
Dunque le funzioni semplici sono dense in [tex]L_1[/tex].
(Da qui in poi iniziano i problemi )
Facciamo vedere che [tex]\mathcal{R}[/tex] è denso nella classe delle funzioni semplici. Per dimostrare questo basta far vedere che ogni tipo di funzione [tex]\phi(A)[/tex] ([tex]\phi[/tex] funzione caratteristica), con [tex]A[/tex] misurabile e di misura finita è limite in norma di funzioni di [tex]\mathcal{R}[/tex]. Se infatti dimostriamo questo segue subito la tesi.
Se
[tex]s= \sum_{i=1}^k \alpha_i \phi(A_i)[/tex] e [tex]g_n^i\to\phi(A_i)[/tex] (notate che non ho la più pallida idea di cosa sia [tex]g_n^i[/tex]) in [tex]||\cdot||_1[/tex] allora:
[tex]||\sum_{i=1}^k \alpha_i g_n^i-\sum_{i=1}^k\alpha_i \phi(A_i)||_1\le\sum_{i=1}^k |\alpha_i|||g_n^i-\phi(A_i)||_1\to 0[/tex] (qui è facile, anche senza capire cosa sia [tex]g_n^i[/tex]).
Ci siamo quasi: noi sappiamo che se [tex]A[/tex] è misurabile allora esiste una successione di insiemi [tex]A_n[/tex] di [tex]\mathcal{F}_\sigma[/tex](= è la famiglia di insiemi che si scrivono come unione numerabile di insiemi dell'algebra [tex]\mathcal{F}[/tex]) tale che [tex]\mu(A_n)-\mu(A)\to0[/tex]. Dunque:
[tex]||\phi(A_n)-\phi(A)||_1= \int_X \phi(A_n\setminus A)d\mu = \mu(A_n\setminus A)\to 0[/tex]
Infine, l'ultimo passo coniste nel far vedere che dato [tex]E\in \mathcal{F}_\sigma[/tex], [tex]\phi(E)[/tex] è approssimabile con funzioni di [tex]\mathcal{R}[/tex]. Ma questo è nuovamente ovvio, e a noi noto: se [tex]E\in \mathcal{F}_\sigma[/tex] (dovrebbe essere [tex]F\in \mathcal{F}_\sigma[/tex], per coerenza con i simboli utilizzati in seguito) allora esiste una successione di insiemi [tex]F_n[/tex] di [tex]\mathcal{F}[/tex] tale che [tex]F_n\uparrow F[/tex] con [tex]\mu(F)= \lim_{n\to\infty}\mu(F_n)[/tex] ed ancora:
[tex]||\phi(F)-\phi(F_n)||_1= \mu(F\setminus F_n)\to 0[/tex].
Come potete vedere è una fiera di notazioni, i cui passaggi sono chiari, mi sa che non arrivo al significato più profondo
Qualche idea?
Per completezza ho deciso di inserire tutta la dimostrazione
Proof: Sia [tex]f\in L_1[/tex] a segno variabile, [tex]f= f^+-f^-[/tex] alora esistono due successioni semplici misurabili tali che
[tex]s_n \uparrow f^+\quad t_n\uparrow f^-[/tex]. Valutiamo:
[tex]||f-(s_n-t_n)||_1 = ||f^+-f^- - s_n+t_n||_1\le ||f^+-s_n||_1+||f^--t_n||_1\longrightarrow0[/tex] (tutto chiaro e semplice qui).
Dunque le funzioni semplici sono dense in [tex]L_1[/tex].
(Da qui in poi iniziano i problemi
)Facciamo vedere che [tex]\mathcal{R}[/tex] è denso nella classe delle funzioni semplici. Per dimostrare questo basta far vedere che ogni tipo di funzione [tex]\phi(A)[/tex] ([tex]\phi[/tex] funzione caratteristica), con [tex]A[/tex] misurabile e di misura finita è limite in norma di funzioni di [tex]\mathcal{R}[/tex]. Se infatti dimostriamo questo segue subito la tesi.
Se
[tex]s= \sum_{i=1}^k \alpha_i \phi(A_i)[/tex] e [tex]g_n^i\to\phi(A_i)[/tex] (notate che non ho la più pallida idea di cosa sia [tex]g_n^i[/tex]) in [tex]||\cdot||_1[/tex] allora:
[tex]||\sum_{i=1}^k \alpha_i g_n^i-\sum_{i=1}^k\alpha_i \phi(A_i)||_1\le\sum_{i=1}^k |\alpha_i|||g_n^i-\phi(A_i)||_1\to 0[/tex] (qui è facile, anche senza capire cosa sia [tex]g_n^i[/tex]).
Ci siamo quasi: noi sappiamo che se [tex]A[/tex] è misurabile allora esiste una successione di insiemi [tex]A_n[/tex] di [tex]\mathcal{F}_\sigma[/tex](= è la famiglia di insiemi che si scrivono come unione numerabile di insiemi dell'algebra [tex]\mathcal{F}[/tex]) tale che [tex]\mu(A_n)-\mu(A)\to0[/tex]. Dunque:
[tex]||\phi(A_n)-\phi(A)||_1= \int_X \phi(A_n\setminus A)d\mu = \mu(A_n\setminus A)\to 0[/tex]
Infine, l'ultimo passo coniste nel far vedere che dato [tex]E\in \mathcal{F}_\sigma[/tex], [tex]\phi(E)[/tex] è approssimabile con funzioni di [tex]\mathcal{R}[/tex]. Ma questo è nuovamente ovvio, e a noi noto: se [tex]E\in \mathcal{F}_\sigma[/tex] (dovrebbe essere [tex]F\in \mathcal{F}_\sigma[/tex], per coerenza con i simboli utilizzati in seguito) allora esiste una successione di insiemi [tex]F_n[/tex] di [tex]\mathcal{F}[/tex] tale che [tex]F_n\uparrow F[/tex] con [tex]\mu(F)= \lim_{n\to\infty}\mu(F_n)[/tex] ed ancora:
[tex]||\phi(F)-\phi(F_n)||_1= \mu(F\setminus F_n)\to 0[/tex].
Come potete vedere è una fiera di notazioni, i cui passaggi sono chiari, mi sa che non arrivo al significato più profondo
Qualche idea?
Questa dimostrazione segue la strada più incasinata possibile (IMHO). 
Ma visto che ce lo ha prescritto il medico cerchiamo di sbrogliarla. Intanto devi dire che intendi tu per $L^1$: presumo $L^1(RR^N)$, giusto?
Questo è il primo passo per capire cosa siano quelle $g_n^i$: si tratta di chiaramente di approssimanti Riemann-integrabili delle funzioni caratteristiche $phi(A_i)$, ma quali esattamente? Probabilmente sono delle funzioni a scala nel senso del mio post precedente (NOTA: Sto usando i due termini "funzione a scala" e "funzione semplice". In questa accezione significano cose diverse).
Ma visto che ce lo ha prescritto il medico cerchiamo di sbrogliarla. Intanto devi dire che intendi tu per $L^1$: presumo $L^1(RR^N)$, giusto?
Questo è il primo passo per capire cosa siano quelle $g_n^i$: si tratta di chiaramente di approssimanti Riemann-integrabili delle funzioni caratteristiche $phi(A_i)$, ma quali esattamente? Probabilmente sono delle funzioni a scala nel senso del mio post precedente (NOTA: Sto usando i due termini "funzione a scala" e "funzione semplice". In questa accezione significano cose diverse).
"dissonance":
Questa dimostrazione segue la strada più incasinata possibile (IMHO).
La colpa è mia che a quella lezione non sono andato! porca pupazza! . Non c'è nulla da fare, se non sono io a prendere appunti, non ci capisco nulla 
"dissonance":
Ma visto che ce lo ha prescritto il medico cerchiamo di sbrogliarla. Intanto devi dire che intendi tu per $L^1$: presumo $L^1(RR^N)$, giusto?
Sì siamo in [tex]\mathbb{R}^N[/tex]
"dissonance":
Questo è il primo passo per capire cosa siano quelle $g_n^i$: si tratta di chiaramente di approssimanti Riemann-integrabili delle funzioni caratteristiche $phi(A_i)$, ma quali esattamente? Probabilmente sono delle funzioni a scala nel senso del mio post precedente (NOTA: Sto usando i due termini "funzione a scala" e "funzione semplice". In questa accezione significano cose diverse).
Supponendo per un attimo che [tex]g_n^i[/tex] siano effettivamente le funzioni approssimanti (di cui conosco l'esistenza per sentito dire in altri corsi) a che serve quello che viene dopo?
Grazie dissonance, so quant'è difficile adeguarsi alle notazioni altrui!
Manca qualcosa di fondamentale che rende tutto privo di senso. $\mathcal{F}_sigma$ che è? Vuoi vedere che sono i rettangoli?
"dissonance":
Manca qualcosa di fondamentale che rende tutto privo di senso. $\mathcal{F}_sigma$ che è? Vuoi vedere che sono i rettangoli?
$\mathcal{F}_sigma$ è la famiglia di insiemi che si esprimono come unione numerabile di $\mathcal{F}$ che è la famiglia di insiemi P-J misurabili (scusami dovevo dirti cos'è).
Peano-Jordan? Per caso prima di questo teorema c'è qualche lemma che ti permette di dire
"Mathematico":dove $A$ è misurabile secondo Lebesgue?
noi sappiamo che se [tex]A[/tex] è misurabile allora esiste una successione di insiemi [tex]A_n[/tex] di [tex]\mathcal{F}_\sigma[/tex](= è la famiglia di insiemi che si scrivono come unione numerabile di insiemi dell'algebra [tex]\mathcal{F}[/tex]) tale che [tex]\mu(A_n)-\mu(A)\to0[/tex].
Segue dalla definizione di misura.
Poichè [tex]A[/tex] è misurabile allora per ogni [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] esiste un insieme [tex]A_n\in \mathcal{F}_\sigma[/tex] tale che:
[tex]\mu(A_n)-\mu(A)<\frac{1}{n}[/tex]
Ad ogni modo tralasciando per un attimo queste cose, rileggendo fino alla nausea questa dimostrazione, ho capito che (forse) le nostre [tex]g_n^i[/tex], cioè le funzioni approssimanti, sono [tex]\phi(F_n^i)[/tex] con [tex]F_n^i\in \mathcal{F}[/tex]. Is this possible?
Poichè [tex]A[/tex] è misurabile allora per ogni [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] esiste un insieme [tex]A_n\in \mathcal{F}_\sigma[/tex] tale che:
[tex]\mu(A_n)-\mu(A)<\frac{1}{n}[/tex]
Ad ogni modo tralasciando per un attimo queste cose, rileggendo fino alla nausea questa dimostrazione, ho capito che (forse) le nostre [tex]g_n^i[/tex], cioè le funzioni approssimanti, sono [tex]\phi(F_n^i)[/tex] con [tex]F_n^i\in \mathcal{F}[/tex]. Is this possible?
Purtroppo non conosco proprio l'approccio del tuo professore alla misura di Lebesgue. Ho capito che la costruite come estensione della misura di Peano-Jordan e così vi vengono fuori automaticamente dei teoremi di estensione dell'integrale di Riemann. E' anche interessante ma dovrei leggere con più attenzione. Comunque quelle $g_n^i$ sono (credo) funzioni caratteristiche di insiemi P.J. misurabili che convergono puntualmente alla funzione caratteristica dell'insieme Lebesgue misurabile. (NOTA: esattamente quello che pensi tu. Purtroppo questi tuoi appunti non usano neanche una delle notazioni che conosco io. 
)
Purtroppo questi tuoi appunti non usano neanche una delle notazioni che conosco io. )
Ti ringrazio molto Dissonance , mi sono convinto che sia così e il fatto che tu mi dia conferma è incoraggiante . Non preoccuparti per le notazioni, alle volte il loro significato è oscuro anche a me nonostante lavori con esse giorni e giorni .
Una mia curiosità, in che modo avete costruito la misura di Lebesgue?
. Non preoccuparti per le notazioni, alle volte il loro significato è oscuro anche a me nonostante lavori con esse giorni e giorni .Una mia curiosità, in che modo avete costruito la misura di Lebesgue?
Nel corso che ho seguito si costruiva "a mano", uno schema di questo c'è in un vecchio post di Gugo (appena lo trovo passo il link, se non ci avrà pensato prima lui).
Un'altra costruzione molto interessante che ho studiato è quella del Real and complex analysis di Rudin: si introduce un teorema (di rappresentazione di Riesz) che costruisce automaticamente una misura Boreliana con certe proprietà simil-Lebesgue una volta che sia definita una nozione di integrale per le funzioni continue a supporto compatto.
Più precisamente dato uno spazio topologico di Hausdorff e localmente compatto $X$ il teorema dice che per ogni $Lambda : C_C(X) \to CC$ lineare e positivo (positivo nel senso che se $f(x)>=0\ \forall x \in X$ allora $Lambda (f) >=0$) esiste una ed una sola misura Boreliana $mu$ finita sui compatti e con certe proprietà di regolarità tale che $Lambda(f)=int_X f"d"mu$ per ogni $f$ continua e a supporto compatto. In particolare, prendendo come $Lambda$ l'integrale di Riemann il teorema "sputa fuori" proprio la misura di Lebesgue $m$.
Un'altra costruzione molto interessante che ho studiato è quella del Real and complex analysis di Rudin: si introduce un teorema (di rappresentazione di Riesz) che costruisce automaticamente una misura Boreliana con certe proprietà simil-Lebesgue una volta che sia definita una nozione di integrale per le funzioni continue a supporto compatto.
Più precisamente dato uno spazio topologico di Hausdorff e localmente compatto $X$ il teorema dice che per ogni $Lambda : C_C(X) \to CC$ lineare e positivo (positivo nel senso che se $f(x)>=0\ \forall x \in X$ allora $Lambda (f) >=0$) esiste una ed una sola misura Boreliana $mu$ finita sui compatti e con certe proprietà di regolarità tale che $Lambda(f)=int_X f"d"mu$ per ogni $f$ continua e a supporto compatto. In particolare, prendendo come $Lambda$ l'integrale di Riemann il teorema "sputa fuori" proprio la misura di Lebesgue $m$.
Ecco il topic a cui facevo riferimento. C'è anche una discussione interessante tra amel e Fox.
https://www.matematicamente.it/forum/cos ... 45029.html
https://www.matematicamente.it/forum/cos ... 45029.html
"dissonance":
Ecco il topic a cui facevo riferimento. C'è anche una discussione interessante tra amel e Fox.
https://www.matematicamente.it/forum/cos ... 45029.html
Grazie dissonance, una discussione davvero molto interessante, tra l'altro quella descritta da Gugo è la costruzione che conosco
. Ho preso il Rudin, ho dato una lettura veloce. Mi ha permesso di capire meglio alcuni concetti che non mi erano chiari. Ho visto già come si costruisce la misura di Lebesgue in altri corsi, ma non capivo perchè ogni prof vuole dire la sua mentre ora è lampante il fatto che questo argomento possiede molte sfumature
Ancora grazie per le dritte!
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