Matematica3: punti di singolarità
Ciao a tutti, devo calcolare i punti di discontinuità, l'esercizio chiede di sviluppare in serie di Laurent la funzione $f(x)=tg( z)$ e classificare il punto di singolarità $z_0=pi/2$.
Io ho fatto in questo modo...
Ricordando che $tg( z)=z+(z^3)/3+2/15z^5+...$, $f(z)$ ammette sviluppo attorno a $z_0=- pi/2$ e dunque:
$f(z)=(z-pi/2)+1/3(z-pi/2)^3+2/15 (z-pi/2)^5+....$
però non si trova, dovrebbe uscire:
$f(z)=1/(z-pi/2)+1/3(z-pi/2)+1/45 (z-pi/2)^3+....$
Perché non si trova, come devo fare?
Io ho fatto in questo modo...
Ricordando che $tg( z)=z+(z^3)/3+2/15z^5+...$, $f(z)$ ammette sviluppo attorno a $z_0=- pi/2$ e dunque:
$f(z)=(z-pi/2)+1/3(z-pi/2)^3+2/15 (z-pi/2)^5+....$
però non si trova, dovrebbe uscire:
$f(z)=1/(z-pi/2)+1/3(z-pi/2)+1/45 (z-pi/2)^3+....$
Perché non si trova, come devo fare?
Risposte
Piuttosto evidentemente lo sviluppo in serie di \(\tan z\) intorno a \(\pi/2\) non può proprio essere quello segnalato da te. Perché?
Prima di determinare la serie di Laurent (che è cosa abbastanza seccante), prova a vedere se \(\tan z\) è regolare o ha una singolarità in \(\pi/2\), ed, in quest'ultimo caso, di che tipo di singolarità si tratta.
Prima di determinare la serie di Laurent (che è cosa abbastanza seccante), prova a vedere se \(\tan z\) è regolare o ha una singolarità in \(\pi/2\), ed, in quest'ultimo caso, di che tipo di singolarità si tratta.
Ciromario, per un attimo ho cercato di capire quali collegamenti ci potevano essere tra la bella città di Napoli e le singolarità della tangente complessa !!! 
Il forum sarà impazzito, ma forse più probabilmente avevi più di una finestra aperta...
Intanto la tengente di zeta la possiamo scrivere usando i soliti giochetti di prestigio come
$tan z="cotan" (\pi/2 -z) = 1/(tan (\pi/2-z))$
Sviluppando $1/(tan z)$ si ottiene
$1/(tan (z)) $
$= 1/(z+z^3/3+2/15 z^5)$
$=1/(z(1+z^2/3+2/15z^4+...))$
$=1/z (1-(z^2/3+2/15z^4+...)+(z^2/3+2/15z^4+...)^2)$
$=1/z (1-z^2/3-1/45z^4+...) $
$=1/z-z/3-1/45z^3+... $
Sostituendo $z$ con $\pi/2-z$
$=1/(\pi/2-z)-(\pi/2-z)/3-1/45(\pi/2-z)^3+... $
$=1/(\pi/2-z)+(z-\pi/2)/3+1/45(z-\pi/2)^3+... $
Il forum sarà impazzito, ma forse più probabilmente avevi più di una finestra aperta...
Intanto la tengente di zeta la possiamo scrivere usando i soliti giochetti di prestigio come
$tan z="cotan" (\pi/2 -z) = 1/(tan (\pi/2-z))$
Sviluppando $1/(tan z)$ si ottiene
$1/(tan (z)) $
$= 1/(z+z^3/3+2/15 z^5)$
$=1/(z(1+z^2/3+2/15z^4+...))$
$=1/z (1-(z^2/3+2/15z^4+...)+(z^2/3+2/15z^4+...)^2)$
$=1/z (1-z^2/3-1/45z^4+...) $
$=1/z-z/3-1/45z^3+... $
Sostituendo $z$ con $\pi/2-z$
$=1/(\pi/2-z)-(\pi/2-z)/3-1/45(\pi/2-z)^3+... $
$=1/(\pi/2-z)+(z-\pi/2)/3+1/45(z-\pi/2)^3+... $
@ Quinzio:
[ot]
Non c'è nessun nesso...
Semplicemente, il grand'uomo (perché è pure vecchio e, peggio ancora, insegna ed ha figli) si diverte a floodare il forum di roba a casaccio riguardante aspetti "brutti" della mia città, pensando di offendere i napoletani della community o chissacché, come prima postava roba a casaccio riguardante aspetti "brutti" della sinistra politica italiana, credendo di offendere altra gente dell'amministrazione/moderazione o chissacché.
Insomma, ciromario è carta conosciuta (come si dice dalle mie parti), perciò i suoi post non fanno più né caldo né freddo.
D'altra parte, un detto delle mie parti afferma: pigliate 'o bbuono quanno vène, ca 'o mmalamente nun manca maje; e perciò l'amministrazione si è decisa a sfruttare biecamente i post matematici di ciromario (che pure sono interessanti) ed a cancellare le varie manifestazioni della sua monomania (che andrebbe curata da specialisti).[/ot]
[ot]
"Quinzio":
Ciromario, per un attimo ho cercato di capire quali collegamenti ci potevano essere tra la bella città di Napoli e le singolarità della tangente complessa !!!
Il forum sarà impazzito, ma forse più probabilmente avevi più di una finestra aperta...
Non c'è nessun nesso...
Semplicemente, il grand'uomo (perché è pure vecchio e, peggio ancora, insegna ed ha figli) si diverte a floodare il forum di roba a casaccio riguardante aspetti "brutti" della mia città, pensando di offendere i napoletani della community o chissacché, come prima postava roba a casaccio riguardante aspetti "brutti" della sinistra politica italiana, credendo di offendere altra gente dell'amministrazione/moderazione o chissacché.
Insomma, ciromario è carta conosciuta (come si dice dalle mie parti), perciò i suoi post non fanno più né caldo né freddo.
D'altra parte, un detto delle mie parti afferma: pigliate 'o bbuono quanno vène, ca 'o mmalamente nun manca maje; e perciò l'amministrazione si è decisa a sfruttare biecamente i post matematici di ciromario (che pure sono interessanti) ed a cancellare le varie manifestazioni della sua monomania (che andrebbe curata da specialisti).[/ot]
Allora io ho trovato che la singolarità in $z_0=pi/2$ è un polo semplice....
Usando la posizione si trova però non ho capito perché in questo caso non si può fare lo sviluppo intorno a$ pi/2$...
In alcuni esercizi va bene usare lo sviluppo notevole e in altri casi, tipo questo non va bene, questa è proprio una cosa che non riesco a capire...
Usando la posizione si trova però non ho capito perché in questo caso non si può fare lo sviluppo intorno a$ pi/2$...
In alcuni esercizi va bene usare lo sviluppo notevole e in altri casi, tipo questo non va bene, questa è proprio una cosa che non riesco a capire...
Cioè ad esempio ho l'esercizio precednte a questo:
Chiede lo stesso di stabilire la natura della singolarità della funzione $f(z)=e^(1/(z+2i))$ usando lo sviluppo di Laurent.
E in questo caso sapendo che $e^z=1+z+z^2/(2!)+...$
Lo sviluppo intorno a $z_0=-2i$ è:
$f(z)=e^(1/(z+2i))=1+1/(z+2i)+1/(2!(z+2i)^2)+...$ e qundi poiché la serie ottenuta è caratterizzata da infiniti termini con potenze negative si ha che $z_0$ è punto di singolarità essenziale...
Qui è stato possibile, qualcuno mi può spiegare come devo fare per capire quando li posso applicare e quando non si può?
Chiede lo stesso di stabilire la natura della singolarità della funzione $f(z)=e^(1/(z+2i))$ usando lo sviluppo di Laurent.
E in questo caso sapendo che $e^z=1+z+z^2/(2!)+...$
Lo sviluppo intorno a $z_0=-2i$ è:
$f(z)=e^(1/(z+2i))=1+1/(z+2i)+1/(2!(z+2i)^2)+...$ e qundi poiché la serie ottenuta è caratterizzata da infiniti termini con potenze negative si ha che $z_0$ è punto di singolarità essenziale...
Qui è stato possibile, qualcuno mi può spiegare come devo fare per capire quando li posso applicare e quando non si può?
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