Massimo volume
Salve a tutti! Sto cercando di risolvere questo problema senza utilizzare i moltiplicatori di Lagrange, però non riesco ad arrivare ad una conclusione, il problema è il seguente:
Determinare il massimo volume di un parallelepipedo rettangolo inscrivibile in una semisfera di raggio $R$. Un grazie di cuore a chi mi darà delucidazioni.
Determinare il massimo volume di un parallelepipedo rettangolo inscrivibile in una semisfera di raggio $R$. Un grazie di cuore a chi mi darà delucidazioni.
Risposte
Hai una funzione da ottimizzare che modella il problema?
Ciao! No, il problema non mi da funzioni, consta del solo testo che ho scritto
Propongo di indicare con $x$ e $y$ le due dimensioni di base e di ricavare l'altezza con Pitagora. Una volta costruita la funzione volume con le derivate parziali si ottiene un unico punto che le annulla $x=y=(2R)/(sqrt3)$, altre soluzioni hanno $x$ o $y$ nulli e quindi sono da scartare in quanto il volume con una coordinata nulla non può essere massimo.
A questo punto, stabilito che $x=y$ si può risolvere il problema con una sola variabile.
A questo punto, stabilito che $x=y$ si può risolvere il problema con una sola variabile.
Ecco @melia, teoricamente l ho capito, ma la funzione volume è il volume del parallelepipedo $V=xyz$ ?
Sì, solo che non uso $z$ perché la posso dedurre da x, y e R.
Fermo restando che il volume della scatola non possa superare quello della semisfera, e che z altezza della scatola non possa superare l altezza della semisfera, trovo una funzione volume studiando la quale non mi da come punto che annulla la derivato quello che tu hai scritto, ergo la mia funzione volume fa acqua da tutte le parti....
Si anche io ho pensato una soluzione simile a quella di @melia
Ipotizzando che il massimo volume di un parallelepipedo inscritto in una sfera (completa), si abbia quando il solido è un cubo.
Per simmetria si può dunque studiare semplicemente $1/8$ del problema
, dividendo il cubo inscritto in otto piccolo cubetti.
Considerando un solo cubetto, esso deve avere la diagonale al più uguale al raggio. Quindi
$\sqrt{3} x = R$ dove x è la lunghezza dello spigolo del cubettino.
Se introduciamo questo vincolo nella formula per il volume del cubo:
$V_{max}=8 (R/\sqrt{3})^3=8/9 \sqrt(3) R^3$
ora dividiamo per due, poiché a noi interessa solo mezza sfera...
Ipotizzando che il massimo volume di un parallelepipedo inscritto in una sfera (completa), si abbia quando il solido è un cubo.
Per simmetria si può dunque studiare semplicemente $1/8$ del problema
, dividendo il cubo inscritto in otto piccolo cubetti.Considerando un solo cubetto, esso deve avere la diagonale al più uguale al raggio. Quindi
$\sqrt{3} x = R$ dove x è la lunghezza dello spigolo del cubettino.
Se introduciamo questo vincolo nella formula per il volume del cubo:
$V_{max}=8 (R/\sqrt{3})^3=8/9 \sqrt(3) R^3$
ora dividiamo per due, poiché a noi interessa solo mezza sfera...
Ragionamento ottimo! Però, a me preme conoscere l'espressione della funzione volume, alla quale non riesco ad arrivare....
Sul cerchio di base della semisfera disegno un rettangolo tale che l'incontro delle diagonali coincida con il centro del cerchio.
Lati del rettangolo $x$ e $y$, che pongo entrambi maggiori di 0. Il rettangolo è la base del parallelepipedo, l'altezza è tale che i 4 spigoli stanno sulla semisfera. Trovo l'altezza usando il teorema di Pitagora con mezza diagonale e il raggio della semisfera:
$h= sqrt(R^2-((sqrt(x^2+y^2))/2)^2)=sqrt(R^2-(x^2+y^2)/4)$
Il volume del parallelepipedo è $V= xy sqrt(R^2-(x^2+y^2)/4)$ annullando le derivate parziali ricavo che ci sono vari estremanti, un paio con $x=0$ o $y=0$, ma non mi interessano in quanto ho posto $x>0$ e $y>0$, e poi con $x=y= +-(2R)/sqrt3$, scarto la soluzione negativa. A questo punto posso lavorare con due variabili, hessiano, ecc. oppure, visto che $x=y$ posso riscrivere il Volume con una sola variabile
$V= x^2 sqrt(R^2-x^2/2)$ e risolvere il problema di massimo in una sola incognita. La soluzione finale è un parallelepipedo a base quadrata con altezza che è metà della base: $x=y= (2R)/sqrt3$ e $h=R/sqrt3$
Lati del rettangolo $x$ e $y$, che pongo entrambi maggiori di 0. Il rettangolo è la base del parallelepipedo, l'altezza è tale che i 4 spigoli stanno sulla semisfera. Trovo l'altezza usando il teorema di Pitagora con mezza diagonale e il raggio della semisfera:
$h= sqrt(R^2-((sqrt(x^2+y^2))/2)^2)=sqrt(R^2-(x^2+y^2)/4)$
Il volume del parallelepipedo è $V= xy sqrt(R^2-(x^2+y^2)/4)$ annullando le derivate parziali ricavo che ci sono vari estremanti, un paio con $x=0$ o $y=0$, ma non mi interessano in quanto ho posto $x>0$ e $y>0$, e poi con $x=y= +-(2R)/sqrt3$, scarto la soluzione negativa. A questo punto posso lavorare con due variabili, hessiano, ecc. oppure, visto che $x=y$ posso riscrivere il Volume con una sola variabile
$V= x^2 sqrt(R^2-x^2/2)$ e risolvere il problema di massimo in una sola incognita. La soluzione finale è un parallelepipedo a base quadrata con altezza che è metà della base: $x=y= (2R)/sqrt3$ e $h=R/sqrt3$
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