Massimo lim.
Salve ragazzi ,
c'è qualcuno che può spiegarmi come mai se una funzione non negativa f(t) ammette integrale improprio < infinito sul semiasse allora il $\lim_{t \to \infty} INF f(t) =0 $ . Ho scritto inf intendendo il minimo limite di f.
c'è qualcuno che può spiegarmi come mai se una funzione non negativa f(t) ammette integrale improprio < infinito sul semiasse allora il $\lim_{t \to \infty} INF f(t) =0 $ . Ho scritto inf intendendo il minimo limite di f.
Risposte
supponiamo ad esempio che la funzione positiva sia definita in $(0,+infty)$ e ragioniamo per assurdo : $lim_{x \to +infty}f(x)=k>0$
allora ,esiste $x_0$ tale che per ogni $x>x_0,f(x)>a$ con $0
allora ,esiste $x_0$ tale che per ogni $x>x_0,f(x)>a$ con $0
Poiché Valesyle parla di $limInf$, aggiungerei qualcosa a quello che ha detto Raf. La spiegazione di Raf vale nel caso in cui il limite della $f(x)$ per $xrarroo$ esiste. Ma una funzione può essere integrabile in senso improprio anche se non ha limite per $xrarroo$, gli esempi classici che si fanno sono $sinx^2$ e $cosx^2$, che sono integrabili in $[o,oo)$ ma non hanno limite.
Quindi qui entra in gioco il $limInf$, che invece esiste sempre. Per definizione, il $limInf$ di una funzione è il massimo dei minoranti definitivi, quindi questo vuol dire che una funzione da un certo $x$ in poi è maggiore del $limInf$. Quindi se $limInf$ non fosse $0$ ma, mettiamo, $3$, la $f(x)$ sarebbe minorata, da un certo punto in poi, dalla funzione $Y=3$, che non ha integrale convergente, cioè torniamo al caso del rettangolo di area infinita.
Quindi qui entra in gioco il $limInf$, che invece esiste sempre. Per definizione, il $limInf$ di una funzione è il massimo dei minoranti definitivi, quindi questo vuol dire che una funzione da un certo $x$ in poi è maggiore del $limInf$. Quindi se $limInf$ non fosse $0$ ma, mettiamo, $3$, la $f(x)$ sarebbe minorata, da un certo punto in poi, dalla funzione $Y=3$, che non ha integrale convergente, cioè torniamo al caso del rettangolo di area infinita.
giustissimo 
ma quindi il grafico non può stare sotto una retta?
Non può stare sopra una retta, altrimenti l'area al disotto del grafico sarebbe più grande di quella di un rettangolo di area infinita, e quindi non potrebbe essere finita, l'integrale non può convergere.
ook grazie mille gabriella127 per aver risposto ancora !! grazie!
Inoltre se il minimo limite va a zero esiste una successione t_n ---> + infinito tale che f(t_n) va a zero ? giusto ?
"valesyle92":
Inoltre se il minimo limite va a zero esiste una successione t_n ---> + infinito tale che f(t_n) va a zero ? giusto ?
Sì, è così, se e solo se.
"valesyle92":
ook grazie mille gabriella127 per aver risposto ancora !! grazie!
Grazie a te!
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