Massimo in R^3
determinare tre numeri positivi $x,y,z$ tali che $x+y+z=10$ e il valore di $x^2 y^2 z$ risulti massimo. Ho un vuoto... 
Risposte
poni $z=10-x-y$ e studiati la funzione $f(x,y)=x^2y^2(10-x-y)$ imponendo i dovuti vincoli ad $x$ ed $y$
Questo problema può essere risolto elementarmente senza ricorrere al Calcolo. Precisamente si dimostra
che, nelle ipotesi prospettate, il massimo si raggiunge quando le singole variabili sono proporzionali agli
esponenti con cui esse si presentano nel prodotto indicato.
Si ha quindi il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}x+y+z=10\\x/2=y/2=z/1 \end{cases} \)
Da qui la soluzione:
$x=y=4;z=2$
Il prodotto massimo è quindi pari a $4^2\cdot4^2\cdot2=512$
N.B. Chi volesse dimostrare la proprietà di cui ho fatto uso ricordi la relazione tra media aritmetica e media geometrica di un set di variabili positive a somma costante.
che, nelle ipotesi prospettate, il massimo si raggiunge quando le singole variabili sono proporzionali agli
esponenti con cui esse si presentano nel prodotto indicato.
Si ha quindi il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}x+y+z=10\\x/2=y/2=z/1 \end{cases} \)
Da qui la soluzione:
$x=y=4;z=2$
Il prodotto massimo è quindi pari a $4^2\cdot4^2\cdot2=512$
N.B. Chi volesse dimostrare la proprietà di cui ho fatto uso ricordi la relazione tra media aritmetica e media geometrica di un set di variabili positive a somma costante.
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