Massimo e minimo tra due funzioni

[marins1]

salve ragazzi! Sono nuovo del forum e chiedo aiuto per la prima volta dato che non ho trovato soluzione al mio problema da nessuna parte.
un esercizio mi propone di studiare una funzione cosi' strutturata:
$ f(x)=[min(|x+2|,|x-2|)]log(x^2+4) $
il mio problema sta nel trovare una soluzione alla parte $ min(|x+2|,|x-2|) $
ho un'idea sul singificato grafico di questa espressione , ma vorrei capire come impostare in generale la risoluzione di esercizi che richiedano di trovare il massimo o il minimo tra due funzioni.
vi ringrazio anticipatamente!

[Sk_Anonymous]

Ho rappresentato graficamente la funzione $y=|x+2|$ ( quella in rosso, formata da due rami ) e la funzione $y=|x-2|$ (quella in bleu anch'essa formata da due rami). Indicando con m il minimo richiesto, dalla figura si trae subito che per :
A) $x<=-2$ , $m=-x-2$ e la funzione da studiare diventa $y=(-x-2)log(x^2+4)$
B) $-2<=x<=0$ , $m=x+2$ e la funzione da studiare diventa $y=(x+2)log(x^2+4)$
C) $0<=x<=2$ , $m=-x+2$ e la funzione da studiare diventa $y=(-x+2)log(x^2+4)$
D) $x>=2$ , $m=x-2$ e la funzione da studiare diventa $y=(x-2)log(x^2+4)$
Tieni presente che le funzioni (A) e (B) sono opposte, come pure le funzioni (C) e (D) e questo facilita lo studio.

[marins1]

ti ringrazio moltissimo, avevo già in mente come si comportassero graficamente le due funzioni, praticamente mi basta studiare due funzioni e ricavare il resto per simmetria?

[Sk_Anonymous]

In effetti è sufficiente studiare (B) e (D) [o (A) e (C)] e poi ribaltare rispetto all'asse X.

[onlyReferee]

"ciromario":In effetti è sufficiente studiare (B) e (D) [o (A) e (C)] e poi ribaltare rispetto all'asse X.

Ribaltare rispetto all'asse y intendi . Difatti ci facilita il fatto che siamo di fronte ad una funzione pari (basta calcolare $f(-x)$ per rendersene conto) e quindi possiamo restringere l'analisi ad $x \geq 0$. Ok per tutto il ragionamento fatto sui valori assoluti.
La cosa forse più pesante (ma neanche moltissimo) è ricordarsi di questa suddivisione anche quando si studia segno (funzione sempre positiva tra l'altro), derivabilità, limiti/asintoti, ecc.
Curiosità: senza voler anticipare tutto a marins, nello studiare il segno della derivata seconda per determinare concavità/convessità della funzione mi sono imbattuto in una disequazione di terzo grado. Sebbene sia visibile anche graficamente il punto di flesso l'equazione relativa la si riesce a risolvere algebricamente solo con la formula di Cardano-Tartaglia (c'è un solo valore reale come soluzione, gli altri due immaginari).

[Sk_Anonymous]

@onlyReferee
Se due funzioni f(x) e g(x) sono opposte, ovvero se per uno stesso valore di x prendono valori opposti $[g(x)=-f(x)]$, allora i loro grafici stanno uno sopra ed uno sotto l'asse X ! In questo senso l'un grafico è il ribaltato dell'altro RISPETTO ALL'ASSE X...Prendi ad esempio $f(x)=x^2, g(x) =-x^2$. Se proprio dovessi fare una correzione a quanto ho scritto userei il termine "simmetria rispetto all'asse X" piuttosto che quello di "ribaltamento rispetto all'asse X"

[onlyReferee]

"ciromario":@onlyReferee
Se due funzioni f(x) e g(x) sono opposte, ovvero se per uno stesso valore di x prendono valori opposti $[g(x)=-f(x)]$, allora i loro grafici stanno uno sopra ed uno sotto l'asse X ! In questo senso l'un grafico è il ribaltato dell'altro RISPETTO ALL'ASSE X...Prendi ad esempio $f(x)=x^2, g(x) =-x^2$. Se proprio dovessi fare una correzione a quanto ho scritto userei il termine "simmetria rispetto all'asse X" piuttosto che quello di "ribaltamento rispetto all'asse X"

Ora è più chiaro, grazie . Ero ancora che ragionavo solo sulla parità mentre effettivamente nei quattro casi mostrati si ragiona direttamente sul fatto che ci sono funzioni opposte "a coppie" (quella in A opposta a quella in B e quella in c opposta a quella in D).
Grazie del chiarimento!