Massimo e minimo relativo e assoluto funzione a due variabili

[insule23]

salve vi prego avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio.

Trovare, se esistono,i punti di massimo e minimo relativo e assoluto della funzione:

[math]f(x,y)=x^{2}+3y^{2}-xy-y[/math]

ho provato a svolgero in tale maniera.
Calcoliamo le derivate prime:

[math]f'(x)=2x-y[/math]

e

[math]f'(y)=6y-x-1[/math]

risolviamo il sistema delle derivate parziali prime poste uguali a zero

[math]\left\{\begin{matrix}
2x-y=0 & \\
6y-x-1=0&
\end{matrix}\right.[/math]

[math]\rightarrow [/math]

[math]\left\{\begin{matrix}
x=\frac{1}{11} & \\
y=\frac{2}{11}&
\end{matrix}\right.[/math]

queste sono le coordinate di un punto stazionario.

ora mi sono bloccato e non sò come proseguire.
per favore aiutatemi se mi potete gentilmente aiutare.
grazie.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Data la funzione

[math]f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x,\,y) := x^2 + 3\,y^2 - x\,y - y\\[/math]

i propri punti critici sono quelli tali per cui si annulla il gradiente:

[math]\nabla f(x,\,y) = (0,\,0) \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases} 2\,x - y = 0 \\ 6\,y - x - 1 = 0 \end{cases}\\[/math]

ossia

[math]A\left(\frac{1}{11}, \; \frac{2}{11}\right)[/math]

. Dal momento che la disequazione

[math]f(A)\le f(x,\,y)[/math]

è
verificata per qualsiasi

[math](x,\,y) \in \mathbb{R}^2[/math]

, per definizione,

[math]A[/math]

è minimo assoluto
per

[math]f[/math]

. Tutto qui. ;)