Massimo e minimo nel dominio
Ciao a tutti
ho questa funzione $ f(x,y)=sqrt((x-2)^2 +y^2)$
e devo trovare i punti di minimo e massimo assunti nel dominio del triangolo di vertici $(2,-2)$,$(-4,4)$,$(-4,2)$
ho trovato che il triangolo è l'area compresa tra le rette
$ {( y>=-2 ),( x >= -4 ),( y<=-x ) } $
ho pensato di procedere annullando il gradiente di f e verificare se i punti trovati appartengono al triangolo: non ottengo risultati.
ho provato a sostituire le equazioni delle rette del triangolo nella funzione: non ottengo risultati.
dove sbaglio?
grazie
ho questa funzione $ f(x,y)=sqrt((x-2)^2 +y^2)$
e devo trovare i punti di minimo e massimo assunti nel dominio del triangolo di vertici $(2,-2)$,$(-4,4)$,$(-4,2)$
ho trovato che il triangolo è l'area compresa tra le rette
$ {( y>=-2 ),( x >= -4 ),( y<=-x ) } $
ho pensato di procedere annullando il gradiente di f e verificare se i punti trovati appartengono al triangolo: non ottengo risultati.
ho provato a sostituire le equazioni delle rette del triangolo nella funzione: non ottengo risultati.
dove sbaglio?
grazie
Risposte
Se è davvero come dici tu (il gradiente non si annulla mai nei punti interni, e le tre funzioni in una variabile ottenute per i bordi hanno derivata non nulla sui valori che ti interessano), gli estremi della funzione dovrebbero essere sui vertici del triangolo. Basta che ti calcoli i valori nei 3 punti e li confronti.
allora il risultato è
$ min = sqrt(2) $ assunto in $ (1,-1) $ (che non è un vertice)
$ min = 2sqrt(13) $ assunto in $ (-4,4) $ (che è un vertice)
quindi sbaglio qualcosa. quali sono i passi esatti da compiere?
inizio calcolando il gradiente, trovo i punti critici e vedo se appartengono al triangolo. ok?
poi?
$ min = sqrt(2) $ assunto in $ (1,-1) $ (che non è un vertice)
$ min = 2sqrt(13) $ assunto in $ (-4,4) $ (che è un vertice)
quindi sbaglio qualcosa. quali sono i passi esatti da compiere?
inizio calcolando il gradiente, trovo i punti critici e vedo se appartengono al triangolo. ok?
poi?
La ricerca dei punti di massimo e minimo vincolati (nel tuo caso ad un triangolo) si divide in due parti:
1)trovare gli eventuali punti di massimo e di minimo all'interno del triangolo, quindi basta trovare i punti che annullano il gradiente.
2)studio dei punti di massimo e di minimo sul bordo del tuo vincolo, quindi devi parametrizzare la frontiera e riportarti ad uno studio di punti di massimo e di minimo ad una sola variabile (come facevi in analisi 1). Tutto questo tenendo conto dei vertici del triangolo, che comunque fanno parte del bordo.
Poi alla fine confronta tutti i valori che hai trovato, sia dentro che sul bordo e vedi qual è quello di massimo e/o di minimo assoluto
1)trovare gli eventuali punti di massimo e di minimo all'interno del triangolo, quindi basta trovare i punti che annullano il gradiente.
2)studio dei punti di massimo e di minimo sul bordo del tuo vincolo, quindi devi parametrizzare la frontiera e riportarti ad uno studio di punti di massimo e di minimo ad una sola variabile (come facevi in analisi 1). Tutto questo tenendo conto dei vertici del triangolo, che comunque fanno parte del bordo.
Poi alla fine confronta tutti i valori che hai trovato, sia dentro che sul bordo e vedi qual è quello di massimo e/o di minimo assoluto
"Lorin":
La ricerca dei punti di massimo e minimo vincolati (nel tuo caso ad un triangolo) si divide in due parti:
1)trovare gli eventuali punti di massimo e di minimo all'interno del triangolo, quindi basta trovare i punti che annullano il gradiente.
qui posso trovare dove si annulla il gradiente e vedere semplicemente se il punto appartiene al triangolo?
In questo modo trovi tutti i punti che annullano il gradiente, quindi i punti critici (o stazionari) che come saprai sono i migliori candidati a diventare (eventualmente) punti di massimo e/o di minimo assoluto. Poi, ovviamente se troverai dei punti che non si trovano nel triangolo (quindi all'interno o sul bordo) allora non li considerare.
in questo caso studiare i punti di min,max di $ f(x,y)=sqrt((x-2)^2 +y^2)$ equivale a studiare i punti di $ f'(x,y)=(x-2)^2 +y^2$ ?
Non sono d'accordo...perchè derivando hai tolto la radice!? O.O
Tra l'altro fai attenzione che quando parliamo di funzione di più variabili reali, si parla di derivate parziali, che in pratica sono le componenti del vettore gradiente
Tra l'altro fai attenzione che quando parliamo di funzione di più variabili reali, si parla di derivate parziali, che in pratica sono le componenti del vettore gradiente
no scusami ho scritto male. con $ f' $ non intendo la derivata ma un'altra funzione. modifico la domanda:
in questo caso studiare i punti di min,max di $ f(x,y)=sqrt((x-2)^2 +y^2)$ equivale a studiare i punti di $ g(x,y)=(x-2)^2 +y^2$ ?
in questo caso studiare i punti di min,max di $ f(x,y)=sqrt((x-2)^2 +y^2)$ equivale a studiare i punti di $ g(x,y)=(x-2)^2 +y^2$ ?
Ma no....sono due cose completamente diverse, perchè ragioni in questo modo?!
ok come non detto. procedo con i calcoli
Se hai qualche dubbio conviene dirlo...se ti possiamo essere d'aiuto lo faremo. Non avere paura di fare degli sbagli. Una cosa è farli qui, una cosa è farli ad un esame...
ho calcolato le derivate. il gradiente risulta
$ (x - 2)/sqrt((x-2)^2 + y^2) , y/sqrt((x-2)^2 + y^2) $
procedo ad annullare il gradiente. il denominatore non può mai essere zero. quindi ottengo
$ x=2 $ , $ y=0 $ quindi il punto $ (2,0) $
dato che per stare nel triangolo devo soddisfare questi vincoli: $ y>=-2 $ , $ x>=-4 $ , $ y<=-x $
il punto non appartiene al triangolo perché non soddisfa il terzo vincolo.
procedo quindi a sostituire i vincoli uno alla volta nella funzione
$ x=-4 $
$ f(-4,y) = sqrt(36+y^2) $
$ f'(-4,y) = y/sqrt(36 + y^2)$
annullando ottengo ancora y = 0
$ y=-2 $
$ f(x,-2) = sqrt((x-2)^2 + (-2)^2) $
$ f'(x,-2) = (x-2)/sqrt((x-2)^2 + 4) $
annullando ottengo ancora x = 2
$ y=-x $
$ f(x,-x) = sqrt((x-2)^2 + x^2) $
$ f'(x,-x) = 2x(x-2)/(denominatore) $
annullando ottengo ancora x = 2
dove sbaglio?
grazie
$ (x - 2)/sqrt((x-2)^2 + y^2) , y/sqrt((x-2)^2 + y^2) $
procedo ad annullare il gradiente. il denominatore non può mai essere zero. quindi ottengo
$ x=2 $ , $ y=0 $ quindi il punto $ (2,0) $
dato che per stare nel triangolo devo soddisfare questi vincoli: $ y>=-2 $ , $ x>=-4 $ , $ y<=-x $
il punto non appartiene al triangolo perché non soddisfa il terzo vincolo.
procedo quindi a sostituire i vincoli uno alla volta nella funzione
$ x=-4 $
$ f(-4,y) = sqrt(36+y^2) $
$ f'(-4,y) = y/sqrt(36 + y^2)$
annullando ottengo ancora y = 0
$ y=-2 $
$ f(x,-2) = sqrt((x-2)^2 + (-2)^2) $
$ f'(x,-2) = (x-2)/sqrt((x-2)^2 + 4) $
annullando ottengo ancora x = 2
$ y=-x $
$ f(x,-x) = sqrt((x-2)^2 + x^2) $
$ f'(x,-x) = 2x(x-2)/(denominatore) $
annullando ottengo ancora x = 2
dove sbaglio?
grazie
Invece l'idea era buona, togliendo la radice i punti di massimo restano gli stessi perché la radice quadrata è strettamente crescente. Tra l'altro l'argomento è sempre $>=0"$ quindi non c'è neanche il rischio di confondersi con il dominio. Ovviamente i valori cambiano, ma ci vuole poco a ricalcolarli.
infatti annullando il gradiente di $ g(x,y)=(x-2)^2 + y^2 $ ottengo lo stesso punto $(2,0)$. che però non appartiene al triangolo
procedendo con i vertici del triangolo ottengo
$ f(2,-2) = 2 $
$ f(-4,4) = 2sqrt(13) $
$ f(-4,-2) = 2sqrt(10) $
il punto (-4,4) è quindi un punto di massimo. e fin qui ok. ma dalle soluzioni so che il punto (1,-1) è punto di minimo.
come posso fare a trovare quel punto? ho sbagliato qualcosa nei passi precedenti?
grazie
$ f(2,-2) = 2 $
$ f(-4,4) = 2sqrt(13) $
$ f(-4,-2) = 2sqrt(10) $
il punto (-4,4) è quindi un punto di massimo. e fin qui ok. ma dalle soluzioni so che il punto (1,-1) è punto di minimo.
come posso fare a trovare quel punto? ho sbagliato qualcosa nei passi precedenti?
grazie
tutto risolto!!!!!
il punto $ (1,-1) $ lo trovo studiando la funzione lungo il bordo $ y=-x $
prima sbagliavo semplicemente i calcoli!!!
grazie a tutti per l'aiuto
il punto $ (1,-1) $ lo trovo studiando la funzione lungo il bordo $ y=-x $
prima sbagliavo semplicemente i calcoli!!!
grazie a tutti per l'aiuto
"dark.hero":
ho questa funzione $ f(x,y)=sqrt((x-2)^2 +y^2)$
e devo trovare i punti di minimo e massimo assunti nel dominio del triangolo di vertici $(2,-2)$,$(-4,4)$,$(-4,2)$
Tanto per fare le cose un po' diversamente, la puoi vedere così.
La funzione assegnata misura la distanza di un punto variabile [tex]$(x,y)$[/tex] dal punto fisso [tex]$c=(2,0)$[/tex]; una volta capito questo, è facilissimo individuarne gli estremi nel triangolo assegnato [tex]$T$[/tex] facendo semplicemente un disegno.
Infatti rappresentati l'insieme [tex]$T$[/tex] ed il punto [tex]$c$[/tex]:
[asvg]xmin=-4;xmax=2;ymin=-2;ymax=4;
axes("","");
fill="lightyellow"; path([[2,-2],[-4,4],[-4,2],[2,-2]]);
fill="none"; stroke="red"; dot([2,0]);[/asvg]
si vede che i punti di minimo e massimo assoluti di [tex]$f(x,y)$[/tex] vengono assunti rispettivamente nei punti [tex]$(1,-1)$[/tex] e [tex]$(-4,4)$[/tex], i quali sono rispettivamente il punto più vicino ed il punto più lontano a [tex]$c$[/tex] in [tex]$T$[/tex].
Infatti, è evidente (cfr. figura seguente) che l'insieme dei raggi delle circonferenze di centro [tex]$c$[/tex] che intersecano [tex]$T$[/tex] coincide con l'immagine della [tex]$f(x,y)$[/tex] ristretta a [tex]$T$[/tex], ergo gli estremi di tale insieme (che è un intervallo chiuso e limitato per noti teoremi) coincidono con i raggi della più grande e della più piccola circonferenza di centro [tex]$c$[/tex] che intersecano [tex]$T$[/tex].
Ora, le circonferenze di centro [tex]$c$[/tex] e raggi [tex]$\sqrt{2}$[/tex] (in rosso) e [tex]$\sqrt{52}=2\sqrt{13}$[/tex] (in blu) incontrano il triangolo unicamente in [tex]$(1,-1)$[/tex] e [tex]$(-4,4)$[/tex] e tutte le circonferenze di raggio intermedio [tex]$r\in ]\sqrt{2},2\sqrt{13}[$[/tex] (in rosa la generica circonferenza di raggio [tex]$r$[/tex]) incontrano il triangolo in più punti: ciò significa che [tex]$[\sqrt{2},2\sqrt{13}]\subseteq f(T)$[/tex].
D'altra parte, ogni circonferenza con raggio [tex]$r\in [0,\sqrt{2}[\cup]2\sqrt{13},+\infty[$[/tex] (in azzurro) non incontra affatto il triangolo: quindi [tex]$f(T)\subseteq [\sqrt{2},2\sqrt{13}]$[/tex].
[asvg]xmin=-6;xmax=4;ymin=-4;ymax=6;
axes("","");
fill="lightyellow"; path([[2,-2],[-4,4],[-4,2],[2,-2]]);
fill="none";
stroke="red"; dot([2,0]);
stroke="blue"; circle([2,0],7.21);
stroke="red"; circle([2,0],1.4);
stroke="pink"; circle([2,0],2);
stroke="dodgerblue"; circle([2,0],0.75); circle([2,0],8);[/asvg]
Perciò [tex]$f(T)=[\sqrt{2},2\sqrt{13}]$[/tex] ed il massimo e minimo assoluti sono assunti dove detto all'inizio.
grazie per la risposta. è molto interessante il metodo che proponi.
se ho capito bene il punto $ c = (2,0) $ sarebbe il centro della circonferenza considerando l'equazione nella forma $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $
nel caso non avessi come funzione una circonferenza, sarebbe possibile trovare un punto di riferimento come c?
se ho capito bene il punto $ c = (2,0) $ sarebbe il centro della circonferenza considerando l'equazione nella forma $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $
nel caso non avessi come funzione una circonferenza, sarebbe possibile trovare un punto di riferimento come c?
Il metodo che ho proposto fa uso delle cosiddette curve di livello della funzione obiettivo (se mi passi un tipico termine di Ricerca Operativa) [tex]$f(x,y)$[/tex], ossia delle curve definite dall'equazione [tex]$f(x,y)=r$[/tex] con [tex]$r$[/tex] parametro fissato.
Nel caso in esame le curve di livello di [tex]$f(x,y)$[/tex] sono circonferenze di raggio [tex]$r$[/tex] e centro [tex]$c$[/tex], quindi è piuttosto facile farsi un'idea della storia.
Nel caso generale, visualizzare come vanno le cose è un po' più complicato, quindi il metodo (che pure è buono) è difficile da applicare.
Nel caso in esame le curve di livello di [tex]$f(x,y)$[/tex] sono circonferenze di raggio [tex]$r$[/tex] e centro [tex]$c$[/tex], quindi è piuttosto facile farsi un'idea della storia.
Nel caso generale, visualizzare come vanno le cose è un po' più complicato, quindi il metodo (che pure è buono) è difficile da applicare.
molte grazie!
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