Massimo e minimo nel dominio
si consideri $ f(x,y) = sqrt((x-2)^(2)+y^2) $
nel dominio compreso nel triangolo di vertici $ (2,-2), (-4,4), (-4,-2) $
determinare punti di massimo e minimo.
il dominio dovrebbe essere l'area compresa tra $ y >= -2, x>=-4, y<=-x $
calcolo il gradiente della funzione, e vedo che si annulla solo in (2,0) che non appartiene al dominio.
come procedo per trovare i punti? ho provato a intersecare le rette che delimitano il triangolo con la funzione ma senza risultato...
grazie
nel dominio compreso nel triangolo di vertici $ (2,-2), (-4,4), (-4,-2) $
determinare punti di massimo e minimo.
il dominio dovrebbe essere l'area compresa tra $ y >= -2, x>=-4, y<=-x $
calcolo il gradiente della funzione, e vedo che si annulla solo in (2,0) che non appartiene al dominio.
come procedo per trovare i punti? ho provato a intersecare le rette che delimitano il triangolo con la funzione ma senza risultato...
grazie
Risposte
Tieni conto che la funzione da minimizzare è la distanza dal punto $(2,0)$; questo dovrebbe darti un'idea geometrica della situazione.
perdonami ma non ho capito nulla di quello che hai scritto. potresti spiegarmelo in modo più semplice per favore?
devo usare i moltiplicatori di lagrange? come posso applicarli dato che non ho una funzione nel dominio?
datemi una mano per favore, domani ho l'esame
Se non vuoi ragionare geometricamente, puoi seguire il solito metodo standard.
La funzione è continua in $R^2$ e differenziabile in $R^2\setminus \{(2,0)\}$.
(Poiché $f(2,0) = 0$ mentre $f(x,y) > 0$ per ogni $(x,y)\ne (2,0)$, il punto $(2,0)$ è di minimo assoluto per $f$ in $R^2$; in questo caso non c'è nemmeno bisogno di porsi il problema, visto che $(2,0)$ non sta nel dominio preso in considerazione.)
Veniamo allo studio sul triangolo $T$ in questione.
$T$ è compatto ed $f$ è continua in $T$; per il teorema di Weierstrass $f$ ammette quindi massimo e minimo assoluto in $T$.
Dal momento che non ci sono punti stazionari interni, tali punti di max e min devono stare su $\partial T$.
$\partial T$ è composta da tre segmenti; su ciascun segmento puoi o studiare direttamente la restrizione di $f$, oppure usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Se, come intendevi fare tu, usi il metodo dei moltiplicatori, ti accorgi che non ci sono punti stazionari vincolati su nessuno dei tre segmenti.
Di conseguenza max e min devono essere cercati fra i tre vertici del triangolo.
La funzione è continua in $R^2$ e differenziabile in $R^2\setminus \{(2,0)\}$.
(Poiché $f(2,0) = 0$ mentre $f(x,y) > 0$ per ogni $(x,y)\ne (2,0)$, il punto $(2,0)$ è di minimo assoluto per $f$ in $R^2$; in questo caso non c'è nemmeno bisogno di porsi il problema, visto che $(2,0)$ non sta nel dominio preso in considerazione.)
Veniamo allo studio sul triangolo $T$ in questione.
$T$ è compatto ed $f$ è continua in $T$; per il teorema di Weierstrass $f$ ammette quindi massimo e minimo assoluto in $T$.
Dal momento che non ci sono punti stazionari interni, tali punti di max e min devono stare su $\partial T$.
$\partial T$ è composta da tre segmenti; su ciascun segmento puoi o studiare direttamente la restrizione di $f$, oppure usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Se, come intendevi fare tu, usi il metodo dei moltiplicatori, ti accorgi che non ci sono punti stazionari vincolati su nessuno dei tre segmenti.
Di conseguenza max e min devono essere cercati fra i tre vertici del triangolo.
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