Massimo e minimo limite infiniti.

[galles90]

Buongiorno,

ho la seguente proposizione
Sia $a_n$ una successione di numeri reali, esistono sottosuccessioni che tendono al massimo e al minimo limite.

La dimostrazione nel caso in cui il massimo e il minimo limite siano finiti c'è l'ho, non ho, quella in cui siano infiniti, quindi vi riporto i miei passaggi.
Allora sia $l'=-infty$, si ha che $a_n$ illimitata inferiormente, per cui dalla definizione di limite di successione divergente negativamente, si ha

$M<0\ qquad exists nu in mathbb{N} \ : \ a_n nu $

essendo $M$ arbitrario, posso scegliere che $M_1=-1$, per cui dalla definizione, si ha l'esistenza di un indicen $nu_1$ tale che sia

$M_1<0\ qquad exists nu_1 in mathbb{N} \ : \ a_(n_1) nu_1 $.

Procendo per induzuzione si ha $M=-k$ con $k in mathbb{N}$, inoltre, sempre dalla definizione sopra detta, si ha:

$ a_(n_k) nu_k $.

passando al limite per $k to infty$ si ha che $M_k to -infty$ e per il teorema del confronto $a_(n_k) to - infty $.
Cosi va bene ?

[otta96]

"galles90":

$M<0\ qquad exists nu in mathbb{N} \ : \ a_n nu $

Questo è falso, correggi.

passando al limite per $k to infty$ si ha che $M_k to -infty$ e per il teorema del confronto $a_(n_k) to - infty $.

Chi è $a_(n_k)$?

[gugo82]

Come dicevo altrove, devi rivedere le basi.
Il fatto che una successione sia illimitata inferiormente/superiormente non equivale a dire che essa diverge negativamente/positivamente.
La successione di termine generale $a_n := (1 + (-1)^n)/2 * n$ è limitata inferiormente, non è limitata superiormente e non diverge positivamente. Perché? Dimostra questi tre fatti.
La successione di termine generale $a_n := (-1)^n * n$ non è limitata né inferiormente né superiormente, ma non diverge. Dimostralo.

[galles90]

Buonasera, rispondo per prima alle domande inerenti al topic, nell'eventualità che sia corretta,rispondo alle domane che mi ha fatto gugo82, tutto per non creare confusione.

P.S. il teorema da me proposto riguarda una successione non regolare, scusatemi per l'errore

Quindi
sia quindi una successione $a_n$ non regolare, risulta $l'=-infty$, se e solo se la successione $a_n$ non è limitata inferiormente, cioè:
$mbox{min}lim_(n to infty)a_n=-infty=l' leftrightarrow forall M<0 \ qquad exists n_M in mathbb{N}\ qquad : \ qquad a_(n_M)
Mi verrebbe da dire che la dimostrazione è quasi conclusa, essendo:
$mathbb{N}=mathbb{P} cup mathbb {D}$ allora necessariamente $n_M in mathbb{P} vee n_M in mathbb{D}$, di conseguenza posso considerare una sottosuccessione di indice pari, oppure, di indice dispari tale che che sia $l'=-infty$