Massimo e minimo limite di una successione
Buonasera a tutti, avrei una piccola richesta riguardo i limiti di successioni e spero che qualcuno mi possa essere d'aiuto.
In particolare, mi riferisco al massimo e minimo limite di una successione. In un qualunque esercizio, data una successione oscillante mi si chiede di trovare il massimo e minimo limite. A questo punto, solitamente, non ho problemi nel trovare i due limiti e le successioni estratte che convergono o divergono (a seconda del caso). Il problema è che, una volta trovate le due successioni estratte, bisogna anche dimostrare che queste sono le uniche due successioni estratte convergenti (risp. divergenti). Ed è su questo che ho dei problemi, non saprei proprio da che parte cominciare per dimostrare che sono le uniche.
Non so se sono stato abbastanza chiaro, vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto!
In particolare, mi riferisco al massimo e minimo limite di una successione. In un qualunque esercizio, data una successione oscillante mi si chiede di trovare il massimo e minimo limite. A questo punto, solitamente, non ho problemi nel trovare i due limiti e le successioni estratte che convergono o divergono (a seconda del caso). Il problema è che, una volta trovate le due successioni estratte, bisogna anche dimostrare che queste sono le uniche due successioni estratte convergenti (risp. divergenti). Ed è su questo che ho dei problemi, non saprei proprio da che parte cominciare per dimostrare che sono le uniche.
Non so se sono stato abbastanza chiaro, vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto!
Risposte
Per forza hai problemi, non è vero. Che definizione hai tu, di massimo e minimo limite? Se ne possono dare parecchie, tutte equivalenti; le due secondo me più utili sono queste:
I) Data una successione ${a_n}$ di numeri reali, definiamo $E$ come l'insieme dei punti limite (anche noti come valori di aderenza, o anche un po' impropriamente punti di accumulazione. Sono tutti i reali estesi a cui converge qualche sottosuccessione di ${a_n}$). Questo insieme, è facile da dimostrare, è chiuso in $RRuu{-infty, infty}$. Quindi di sicuro ammette massimo e minimo (eventualmente $+-infty$) che definiremo rispettivamente massimo limite e minimo limite di ${a_n}$.
II) Data una successione ${a_n}$ di numeri reali, definiamo $e'_n="inf"{a_k\ |\ k>=n}, e''_n="sup"{a_k\ |\ k>=n}$. Queste successioni si dicono anche degli inf definitivi e sup definitivi rispettivamente. E' facile verificare che sono successioni monotone. Di conseguenza sono certamente regolari (=ammettono limite, eventualmente non finito). Definiremo minimo limite, massimo limite di $a_n$ il limite di $e'_n, e''_n$ rispettivamente.
Queste due definizioni sono equivalenti, e la verifica di questo non è difficile (se serve la posso postare in seguito).
A me piace tenere presente entrambe le definizioni perché ognuna dà un contributo sostanziale. La prima definizione spiega bene l'idea di massimo e minimo limite. Mentre la seconda fornisce un metodo più pratico di calcolarli o almeno di stimarli.
Ho scritto tutto questo per mettere in evidenza il fatto che da nessuna parte è scritto che massimo e minimo limite sono gli unici punti limite.
I) Data una successione ${a_n}$ di numeri reali, definiamo $E$ come l'insieme dei punti limite (anche noti come valori di aderenza, o anche un po' impropriamente punti di accumulazione. Sono tutti i reali estesi a cui converge qualche sottosuccessione di ${a_n}$). Questo insieme, è facile da dimostrare, è chiuso in $RRuu{-infty, infty}$. Quindi di sicuro ammette massimo e minimo (eventualmente $+-infty$) che definiremo rispettivamente massimo limite e minimo limite di ${a_n}$.
II) Data una successione ${a_n}$ di numeri reali, definiamo $e'_n="inf"{a_k\ |\ k>=n}, e''_n="sup"{a_k\ |\ k>=n}$. Queste successioni si dicono anche degli inf definitivi e sup definitivi rispettivamente. E' facile verificare che sono successioni monotone. Di conseguenza sono certamente regolari (=ammettono limite, eventualmente non finito). Definiremo minimo limite, massimo limite di $a_n$ il limite di $e'_n, e''_n$ rispettivamente.
Queste due definizioni sono equivalenti, e la verifica di questo non è difficile (se serve la posso postare in seguito).
A me piace tenere presente entrambe le definizioni perché ognuna dà un contributo sostanziale. La prima definizione spiega bene l'idea di massimo e minimo limite. Mentre la seconda fornisce un metodo più pratico di calcolarli o almeno di stimarli.
Ho scritto tutto questo per mettere in evidenza il fatto che da nessuna parte è scritto che massimo e minimo limite sono gli unici punti limite.
Permettimi l'intromissione, dissonance.
Qui non era in questione l'unicità dei punti limite, bensì l'unicità delle sottosuccessioni convergenti (in senso generalizzato) al minimo/massimo limite.
Beh, è abbastanza evidente che non esiste mai un unica estratta da $(a_n)$ che converga, ad esempio, verso $"max"lim a_n$. Anzi, ce ne sono almeno un'infinità numerabile di successioni estratte che convergono verso il massimo limite: infatti se $b_n=a_(k_n)$ è un'estratta da $(a_n)$ tale che $b_n\to L="max"lim a_n$, allora ogni estratta $c_n=b_(k_n)$ da $(b_n)$ e distinta da $(b_n)$ è tale che $c_n\to L$; visto che $(c_n)$ è estratta da $(b_n)$ e che $(b_n)$ è estratta da $(a_n)$, allora anche $(c_n)$ è estratta da $(a_n)$, converge verso $L$ ed è distinta da $(b_n)$.
Qui non era in questione l'unicità dei punti limite, bensì l'unicità delle sottosuccessioni convergenti (in senso generalizzato) al minimo/massimo limite.
Beh, è abbastanza evidente che non esiste mai un unica estratta da $(a_n)$ che converga, ad esempio, verso $"max"lim a_n$. Anzi, ce ne sono almeno un'infinità numerabile di successioni estratte che convergono verso il massimo limite: infatti se $b_n=a_(k_n)$ è un'estratta da $(a_n)$ tale che $b_n\to L="max"lim a_n$, allora ogni estratta $c_n=b_(k_n)$ da $(b_n)$ e distinta da $(b_n)$ è tale che $c_n\to L$; visto che $(c_n)$ è estratta da $(b_n)$ e che $(b_n)$ è estratta da $(a_n)$, allora anche $(c_n)$ è estratta da $(a_n)$, converge verso $L$ ed è distinta da $(b_n)$.
"Gugo82":
...è abbastanza evidente che non esiste mai un'unica estratta da $(a_n)$ che converga, ad esempio, verso $"max"lim a_n$. Anzi, ce ne sono almeno un'infinità numerabile di successioni estratte che convergono verso il massimo limite...
Sono d'accordo, naturalmente. Anzi, volendo usare proprio il microscopio, forse col tuo procedimento troviamo una infinità più che numerabile di sottosuccessioni convergenti verso il massimo limite. Perché se non mi sbaglio, data una successione troviamo una infinità più che numerabile di sottosuccessioni estratte (a occhio, l'insieme delle successioni estratte ha la potenza dell'insieme delle parti di $NN$...o mi sbaglio? E l'insieme delle parti di $NN$ è più che numerabile).
Beh, comunque mi pare una questione di lana caprina. E inoltre non vorrei confondere Target_90 che cercava un criterio pratico per il calcolo di minimo e massimo limite.
A questo punto faccio un esempio pratico, molto cretino per la verità, per illustrare ciò che volevo dire.
Consideriamo la successione $1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, ...$. Calcoliamo il minimo e il massimo limite. Supponendo di avere il prosciutto sugli occhi, e di non esserci accorti che il risultato è $-1, 1$, calcoliamo i sup e gli inf definitivi. Risulta che (uso le notazioni di prima) $e'_n=-1, e''_n=1$ per ogni $n$. Calcoliamo il limite delle due successioni (costanti), e arriviamo al risultato.
Osserviamo però che $1, -1$ non sono gli unici punti limite. Infatti c'è una evidente sottosuccessione che tende a 0. Quindi non avremmo potuto fare questo:
Il problema è che, una volta trovate le due successioni estratte, bisogna anche dimostrare che queste sono le uniche due successioni estratte convergenti (risp. divergenti).
vuoi per il motivo citato da Gugo, vuoi perché troviamo anche altre successioni estratte che col minimo e massimo limite c'entrano poco e niente.
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