Massimo e Minimo limite
Salve vorrei dei chiarimenti sulla definizione di massimo e minimo limite:
Io so che:
Sia \(\displaystyle (a_n) \) una successione di numeri reali. Si dice che M è un maggiorante
definitivo per la successione \(\displaystyle (a_n) \) se esiste un numero \(\displaystyle n_0 \in N \) tale che
\(\displaystyle a_n < M \), per ogni \(\displaystyle n > n_0 \).
Se la successione (a_n) è limitata superiormente, l’insieme dei maggioranti non è vuoto ed ogni
maggiorante è un maggiorante definitivo;
Ho sottolineato definitivo perchè non capisco cosa voglia intendere.
Ora se indico con M l'insieme dei maggioranti, data un successione \(\displaystyle a_n \) con \(\displaystyle n\to\infty \)
il maxlimite è uguale al più piccolo dei maggioranti se l'insieme M non è vuoto, ad infinito se è vuoto.
Per il minimo limite invece dato l'inisieme dei minoranti m, il minlim per \(\displaystyle n\to\infty \) è il più grande dei minoranti se l'isieme non è vuoto, se no meno infinito. E' giusto?
Io so che:
Sia \(\displaystyle (a_n) \) una successione di numeri reali. Si dice che M è un maggiorante
definitivo per la successione \(\displaystyle (a_n) \) se esiste un numero \(\displaystyle n_0 \in N \) tale che
\(\displaystyle a_n < M \), per ogni \(\displaystyle n > n_0 \).
Se la successione (a_n) è limitata superiormente, l’insieme dei maggioranti non è vuoto ed ogni
maggiorante è un maggiorante definitivo;
Ho sottolineato definitivo perchè non capisco cosa voglia intendere.
Ora se indico con M l'insieme dei maggioranti, data un successione \(\displaystyle a_n \) con \(\displaystyle n\to\infty \)
il maxlimite è uguale al più piccolo dei maggioranti se l'insieme M non è vuoto, ad infinito se è vuoto.
Per il minimo limite invece dato l'inisieme dei minoranti m, il minlim per \(\displaystyle n\to\infty \) è il più grande dei minoranti se l'isieme non è vuoto, se no meno infinito. E' giusto?
Risposte
Di solito quando si usa il termine "definitivamente" si intende da un certo $n$ in poi..come per le funzioni definitivamente monotone, che sono funzioni monotone da un certo punto in poi, ma prima possono fare ciò che vogliono! Maggiorante definitivo può voler dire che da quel punto in poi sono tutti maggioranti. Ovviamente se l'insieme è limitato ha un massimo e un minimo, e cioè definito il dominio $D=[a_0, +\infty[$ hai che $\lim_(n->+\infty)a_n = M$ ove $M$ è il primo dei maggioranti, stessa cosa per il minimo con $a_n(0) = a_0$. Le successioni sono tutte limitate almeno o superiormente o inferiormente, quindi ovviamente se una successione non è limitata, per esempio superiormente, hai che \(\displaystyle \sup_\mathbb{N} (a_n) = +\infty \) pertanto per definizione avresti che se esiste un maggiorante $M$ sarebbe $M>+\infty$ che è assurdo!
riporto l'enunciato del seguente teorema e i miei dubbi
teorema:se ${a_n}$ è una successione limitata risulta :
(1) $ maxlim_(n -> +oo)a_n=Inf_(n in N)Sup_(k>n)a_k $
(2) $ minlim_(n -> +oo)a_n=Sup_(n in N)Inf_(k>n)a_k $
non riesco a capire che rappresentano rispettivamente $Sup_(k>n)a_k $ e $Inf_(k>n)a_k $
qualcuno può chiarirmi le idee?
teorema:se ${a_n}$ è una successione limitata risulta :
(1) $ maxlim_(n -> +oo)a_n=Inf_(n in N)Sup_(k>n)a_k $
(2) $ minlim_(n -> +oo)a_n=Sup_(n in N)Inf_(k>n)a_k $
non riesco a capire che rappresentano rispettivamente $Sup_(k>n)a_k $ e $Inf_(k>n)a_k $
qualcuno può chiarirmi le idee?
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