Massimo e minimo in un intervallo
Consideriamo la funzione $omega(x)=x^3-xalpha^2$ in $[a,b]$, vogliamo trovare il massimo e minimo di $omega$ in $[a,b]$, facendo la derivata prima e imponendola uguale a $0$ si trovano due punti critici $pmalpha/sqrt(3)$, ora io concluderei che per Weiestras abbiamo che esistono un punto di massimo e un punto di minimo, siccome abbiamo solo due punti critici (una volta calcolati i valori in $omega$) sappiamo stabilire chi dei due è massimo e chi è minimo, però invece prima di fare questo passaggio la mia professoressa ha calcolato anche $omega(a)$ e $omega(b)$ e solo dopo aver visto questi valori ha stabilito il massimo e minimo, ma questo perchè il teorema di fermat vale solo su $(a,b)$ se non ricordo male giusto? Bisogna vedere cosa succede hai bordi dell'intervallo
Risposte
Non solo il teorema di Fermat, proprio tutta la teoria del calcolo differenziale (almeno secondo alcuni autori). Generalmente, le derivate si definiscono sugli aperti; altrimenti, si esce dall'insieme di definizione di una funzione quando si considera $x+h$ con $h \ne 0$. Puoi anche solo parlare di derivata destra o sinistra nei punti di frontiera, ma da dove ho studiato io si considerava direttamente un aperto di $\mathbb{R}$.
"Mephlip":
Non solo il teorema di Fermat, proprio tutta la teoria del calcolo differenziale (almeno secondo alcuni autori). Generalmente, le derivate si definiscono sugli aperti; altrimenti, si esce dall'insieme di definizione di una funzione quando si considera $x+h$ con $h \ne 0$. Puoi anche solo parlare di derivata destra o sinistra nei punti di frontiera, ma da dove ho studiato io si considerava direttamente un aperto di $\mathbb{R}$.
Si è vero, intendevo in questo esercizio, però si mi è sempre capitato che robbe differenziali siano definite su aperti, volevo solo la motivazione precisa in questo caso, grazie.
Eh perchè hai che nei punti estremi INTERNI, derivabile implica che la derivata è nulla, nei punti estremi la situazione è più complicata.
"otta96":
Eh perchè hai che nei punti estremi INTERNI, derivabile implica che la derivata è nulla, nei punti estremi la situazione è più complicata.
Si esatto, intendevo dire che l'idea di trovarsi i punti critici per trovare possibili massimi e minimi deriva dal teorema di fermat che applicabile solo su aperti come in questo caso.
Ciao andreadel1988,
Innanzitutto direi, anche se non l'hai specificato, che deve essere $\alpha > 0 $, perché se $\alpha \le 0 $ la funzione cubica proposta non ha né massimi né minimi relativi, ma solo assoluti in $a$ e $b$.
Detto ciò si può scrivere $\omega(x)=x^3-x\alpha = x(x - \sqrt\alpha)(x + \sqrt\alpha) $ su $[a, b]$
Qui sorge un altro problema, perché o $a$ e $b$ sono assegnati e tu li hai indicati genericamente con $a$ e $b$, ma in realtà ti sono noti, oppure potrebbero essere tali che la funzione proposta non abbia di nuovo alcun massimo e minimo relativo, ma solo assoluti in $a$ e $b$. Supponendo invece che sia $a < - \sqrt\alpha $ e $b > +\sqrt\alpha $ (che sono due delle tre intersezioni della funzione con l'asse $x$, l'altra è ovviamente l'origine degli assi cartesiani $O(0,0)$), allora essendo la derivata prima $\omega'(x) = 3x^2 - \alpha $ imponendola uguale a $0$ si trovano i due punti critici $\pm \sqrt{\alpha/3} $ e non come
Dallo studio del segno della derivata prima poi si trova che il punto di minimo ha ascissa $x_L = \sqrt{\alpha/3}$, mentre il punto di massimo ha ascissa $x_M = - \sqrt{\alpha/3} $
Con una "b" sola è meglio...
Un'ultima cosa: per rispondere ai post si usa il pulsante RISPONDI in fondo ai post, non il pulsante "CITA: infatti, raramente è necessario citare tutta la risposta di colui che ti ha risposto, anzi così facendo si appesantisce inutilmente la lettura del thread... Comunque tranquillo, ci sono cascati in parecchi all'inizio della frequentazione del forum (sottoscritto incluso... )
Innanzitutto direi, anche se non l'hai specificato, che deve essere $\alpha > 0 $, perché se $\alpha \le 0 $ la funzione cubica proposta non ha né massimi né minimi relativi, ma solo assoluti in $a$ e $b$.
Detto ciò si può scrivere $\omega(x)=x^3-x\alpha = x(x - \sqrt\alpha)(x + \sqrt\alpha) $ su $[a, b]$
Qui sorge un altro problema, perché o $a$ e $b$ sono assegnati e tu li hai indicati genericamente con $a$ e $b$, ma in realtà ti sono noti, oppure potrebbero essere tali che la funzione proposta non abbia di nuovo alcun massimo e minimo relativo, ma solo assoluti in $a$ e $b$. Supponendo invece che sia $a < - \sqrt\alpha $ e $b > +\sqrt\alpha $ (che sono due delle tre intersezioni della funzione con l'asse $x$, l'altra è ovviamente l'origine degli assi cartesiani $O(0,0)$), allora essendo la derivata prima $\omega'(x) = 3x^2 - \alpha $ imponendola uguale a $0$ si trovano i due punti critici $\pm \sqrt{\alpha/3} $ e non come
"andreadel1988":
si trovano due punti critici $\pm \alpha/\sqrt3 $
Dallo studio del segno della derivata prima poi si trova che il punto di minimo ha ascissa $x_L = \sqrt{\alpha/3}$, mentre il punto di massimo ha ascissa $x_M = - \sqrt{\alpha/3} $
"andreadel1988":
robbe
Con una "b" sola è meglio...
Un'ultima cosa: per rispondere ai post si usa il pulsante RISPONDI in fondo ai post, non il pulsante "CITA: infatti, raramente è necessario citare tutta la risposta di colui che ti ha risposto, anzi così facendo si appesantisce inutilmente la lettura del thread... Comunque tranquillo, ci sono cascati in parecchi all'inizio della frequentazione del forum (sottoscritto incluso...
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Di solito cito per avere piu contato diretto con la persona ma se mi dite che meglio non farlo allora non lo faccio, si comunque i valori erano $alphain(0,1)$ e $a=-1$ e $b=1$ ma più che altro mi interessava il ragionamento sugli estremi, comunque grazie della completezza, a comunque ho sbagliato avevo scritto male omega pardon perciò gli estremanti erano diversi ahaahaha, ma non era quello che mi interessava ripeto
[ot]
Se parli all'ultima persona che è intervenuta non c'è bisogno di citare: se sono intervenute più persone e vuoi parlare specificamente con qualcuno, ma non c'è la necessità di citare parti del suo messaggio, puoi riferirti ad esso anteponendo "@" al suo nickname ad inizio messaggio.[/ot]
"andreadel1988":
Di solito cito per avere piu contato diretto con la persona ma se mi dite che meglio non farlo allora non lo faccio
Se parli all'ultima persona che è intervenuta non c'è bisogno di citare: se sono intervenute più persone e vuoi parlare specificamente con qualcuno, ma non c'è la necessità di citare parti del suo messaggio, puoi riferirti ad esso anteponendo "@" al suo nickname ad inizio messaggio.[/ot]
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