Massimo e Minimo in funzioni di due variabili

[tazzo1]

Mi sono bloccato nello svolgimento dell'esercizio che riporto come immagini in quanto c'è anche il grafico che ho disegnato:


Sono però bloccato, per trovare i punti critici dovrei risolvere un sistema in due variabili / due equazioni di terzo grado..

[gio73]

Ciao Tazzo, ti chiedo per cortesia di riportare quello che puoi usando le formule.

[tazzo1]

Sia $f:R^2->R$
$f(x,y)=y^4+x^2y^2-2xy^3-2y^2-x^2+2xy+1$

Calcolare MAX e MIN su
$K={(x,y)|-1<=y<=1,-1<=y-x<=1}$

1) Rappresento il sistema dei vincoli (vedi immagine)
2) Cerco punti critici
$\{(-y^3+xy^2-x+y=0),(2y^3+x^2y-3xy^2-2y+x=0):}$

Mi blocco perché trovo un sistema in due equazioni due incognite di terzo grado.. potete aiutarmi a procedere?

[gio73]

ciao tazzo
per

$-y^3+xy^2-x+y=0$

potrebbe essere utile notare

$x(y^2-1)-y(y^2-1)=0$
da cui
$(y^2-1)(x-y)=0$

per l'altra derivata parziale non mi è ancora scattato niente.

[homeinside-votailprof]

scusa gio, ma arrivato a questo punto non si potrebbe risolvere il problema impostando tre sistemi differenti di due quazioni e due incognite, tutti e tre con la seconda equazione intersecate di voltain volta con $y=1, y=-1 e y=x$ mi sembra a rigore matematico, certi il calcolo è un po laborioso, ma credo sia fattibile. Personalmente lo affronterei così.

[gio73]

ciao IntoTheWild
mi sembra possa andare: in fin dei conti noi cerchiamo i punti che annullano contemporaneamente $f_x$e $f_y$.

[tazzo1]

Risolvendo le equazioni ho trovato 5 soluzioni:
(0,0),(0,1),(2,1),(0,-1),(-2,-1)

La matrice hessiana che mi è venuta è:
$|(y^2-1,2x-3y^2+1),(2xy-3y^2+1,6y^2+x^2-6xy-2)|$

e calcolando il determinante per i vari punti:
H(0,0)=-1 max f(0,0)=1
H(0,1)=-4 sella
H(2,1)=0 non si può dire nulla
H(0,-1)=-4 sella
H(-2,-1)=8 f''xx=0 ???

Una brutta situazione... il valore della funzione in tutti i punti diversi dal primo che è massimo è 0, cosa significa?