Massimo e minimo funzioni a due variabili

[markwhite996]

Buonasera,

volevo togliermi un dubbio prendendo in considerazione una funzione

$f(x,y)=6xy-x^2y-xy^2$

abbiamo le derivate parziali
$f'x=6y-2xy-y^2$
$f'y=6x-x^2-2xy$

i punti stazionari $(0,0) (0,6) (6,0) (4,2)$

le derivate seconde
$fx,x=-2y$
$fx,y=6-2y-2x$
$fy,x=6-2x-2y$
$fy,y=-2x$

e il determinante hessiano uguale a $-xy+6x+6y+x^2+y^2+9$

ora se ho $H(0,0)=9>0$ ho poi $fx,x(0,0)=0$
e $H(6,0)=81>0$ e $fx,x(6,0)=0$

la mia domanda è: se il determinante risulta positivo e $fx,x=0$ cosa ho se non può essere nè massimo nè minimo?

[feddy]

E' sufficiente guardare gli autovalori di tale matrice. In questo caso sono dati dalle soluzioni dell'equazione $lambda^2 - Tr(A) +det(A)=0$.

Quindi $lambda^2 -36=0$, da cui $lambda=+-6$. Essi sono di segno discorde, pertanto è una sella

[markwhite996]

Scusa se te lo chiedo ma potresti farmi tutti i calcoli?

[markwhite996]

Credo dovrei specificare che studio economia e che non so cosa siano gli autovalori di una matrice (anche se ho provato a cercarli).

http://matepratica.it/2012/08/massimi-e ... abili.html nell'esame esce quasi sempre un esercizio come questo

[feddy]

Ma scusa lo studio di massimi e minimi si dimostra (almeno io ho fatto così) con lo studio degli autovalori della matrice hessiana... poi ci sono altri metodi... ma in questo caso mi sembra la via migliore