Massimo e minimo funzioni a due variabili
Buonasera,
volevo togliermi un dubbio prendendo in considerazione una funzione
$f(x,y)=6xy-x^2y-xy^2$
abbiamo le derivate parziali
$f'x=6y-2xy-y^2$
$f'y=6x-x^2-2xy$
i punti stazionari $(0,0) (0,6) (6,0) (4,2)$
le derivate seconde
$fx,x=-2y$
$fx,y=6-2y-2x$
$fy,x=6-2x-2y$
$fy,y=-2x$
e il determinante hessiano uguale a $-xy+6x+6y+x^2+y^2+9$
ora se ho $H(0,0)=9>0$ ho poi $fx,x(0,0)=0$
e $H(6,0)=81>0$ e $fx,x(6,0)=0$
la mia domanda è: se il determinante risulta positivo e $fx,x=0$ cosa ho se non può essere nè massimo nè minimo?
volevo togliermi un dubbio prendendo in considerazione una funzione
$f(x,y)=6xy-x^2y-xy^2$
abbiamo le derivate parziali
$f'x=6y-2xy-y^2$
$f'y=6x-x^2-2xy$
i punti stazionari $(0,0) (0,6) (6,0) (4,2)$
le derivate seconde
$fx,x=-2y$
$fx,y=6-2y-2x$
$fy,x=6-2x-2y$
$fy,y=-2x$
e il determinante hessiano uguale a $-xy+6x+6y+x^2+y^2+9$
ora se ho $H(0,0)=9>0$ ho poi $fx,x(0,0)=0$
e $H(6,0)=81>0$ e $fx,x(6,0)=0$
la mia domanda è: se il determinante risulta positivo e $fx,x=0$ cosa ho se non può essere nè massimo nè minimo?
Risposte
E' sufficiente guardare gli autovalori di tale matrice. In questo caso sono dati dalle soluzioni dell'equazione $lambda^2 - Tr(A) +det(A)=0$.
Quindi $lambda^2 -36=0$, da cui $lambda=+-6$. Essi sono di segno discorde, pertanto è una sella
Quindi $lambda^2 -36=0$, da cui $lambda=+-6$. Essi sono di segno discorde, pertanto è una sella
Scusa se te lo chiedo ma potresti farmi tutti i calcoli?
Credo dovrei specificare che studio economia e che non so cosa siano gli autovalori di una matrice (anche se ho provato a cercarli).
http://matepratica.it/2012/08/massimi-e ... abili.html nell'esame esce quasi sempre un esercizio come questo
http://matepratica.it/2012/08/massimi-e ... abili.html nell'esame esce quasi sempre un esercizio come questo
Ma scusa lo studio di massimi e minimi si dimostra (almeno io ho fatto così) con lo studio degli autovalori della matrice hessiana... poi ci sono altri metodi... ma in questo caso mi sembra la via migliore