Massimo e minimo di $y=|x^2-4x|/x$
Ciao a tutti,mi rivolgo a voi per risolvere questo mio dubbio, nel trovare il massimo e il minimo della funzione $y=|x^2-4x|/x$ mi trovo in difficoltà soprattutto quando mi dicono che deve essere nell'intervallo $[1;5]$, io non riesco a trovare nessun massimo ne minimo in questo intervallo anche perche la derivata mi viene sempre -+1....
grazie aiutatemi
grazie aiutatemi
Risposte
mostra i passaggi che hai fatto per calcolare la derivata
$y'=((2x-4)x-(x^2-4x))/x^2$ ho tolto il valore assoluto perche $x^2-4x$ nell'intervallo $[1;5]$ risulta positivo....giusto o sbaglio?
Ricontrolla la derivata con molta più attenzione 
Può esserti d'aiuto esaminare quel modulo e suddividere la funzione in due (o più!) rami
Il minimo c'è
E se anche non avessi avuto un punto a derivata nulla, in un intervallo chiuso le funzioni continue hanno sempre massimo e minimo, per il teorema di Weierstrass
In particolare se la funzione è monotona il minimo e il massimo sono proprio in corrispondenza degli estremi dell'intervallo. Ma ci tengo a precisare che questo non è il tuo caso.
Può esserti d'aiuto esaminare quel modulo e suddividere la funzione in due (o più!) rami
Il minimo c'è
E se anche non avessi avuto un punto a derivata nulla, in un intervallo chiuso le funzioni continue hanno sempre massimo e minimo, per il teorema di Weierstrass
In particolare se la funzione è monotona il minimo e il massimo sono proprio in corrispondenza degli estremi dell'intervallo. Ma ci tengo a precisare che questo non è il tuo caso.
"tony91":
$y'=((2x-4)x-(x^2-4x))/x^2$ ho tolto il valore assoluto perche $x^2-4x$ nell'intervallo $[1;5]$ risulta positivo....giusto o sbaglio?
sbagli, non è sempre positivo. Per crederci prova a sostituire...
Non riesco a vederci chiaro.....ormai è da tanto che ci sto su che non riesco ad uscirne.... qualcuno che mi faccia vedere come devo fare. grazie ancora
qualcuno che mi faccia vedere come devo fare. grazie ancora
almeno il fatto che $x^2-4x$non è sempre positivo in $[1.5]$, spero ti sia chiaro, è molto banale.
Procedi in questo modo:
verifichi quando $x^2-4x<0$, quindi:
$x(x-4)<0$ da cui $x\in(0,4)$
Di conseguenza bisogna porre $y=\{(-(x^2-4x)/(x)$ se $x\in[1,4)),((x^2-4x)/x$ altrimenti $):}$
A questo punto prosegui con le derivate
Procedi in questo modo:
verifichi quando $x^2-4x<0$, quindi:
$x(x-4)<0$ da cui $x\in(0,4)$
Di conseguenza bisogna porre $y=\{(-(x^2-4x)/(x)$ se $x\in[1,4)),((x^2-4x)/x$ altrimenti $):}$
A questo punto prosegui con le derivate
Le derivate mi vengono 1 e -1; quindi????
devi cercare il valore di $x$, per cui si annulla la derivata.
In altre parole devi porre $y'=0$, ricordando che la derivata per $x\in[1,4)$ è diversa da quella per $x\in(4,5]$.
Puoi usare questi simboli se vuoi:
$y_1'$ per indicare la derivata di $y$ quando $x\in[1,4)$
$y_2'$ per indicare la derivata di $y$ quando $x\in(4,5]$
e di conseguenza risolvi le due equazioni $y_1'=0$, $y_2'=0$
In altre parole devi porre $y'=0$, ricordando che la derivata per $x\in[1,4)$ è diversa da quella per $x\in(4,5]$.
Puoi usare questi simboli se vuoi:
$y_1'$ per indicare la derivata di $y$ quando $x\in[1,4)$
$y_2'$ per indicare la derivata di $y$ quando $x\in(4,5]$
e di conseguenza risolvi le due equazioni $y_1'=0$, $y_2'=0$
Scusatemi, ma spezzando il modulo nell'intervallo in questione si ottengono 2 segmenti, cercare il massimo e il minimo in queste condizioni mi sembra più semplice con dei conti diretti piuttosto che con le derivate.
La funzione $y=|x^2-4x|/x$ può essere scritta $y=(|x|*|x-4|)/x$ che in $[1;5]$ diventa $y=(x*|x-4|)/x$ cioè $y=|x-4|$
Non ditemi che per studiare i massimi e i minimi di $y=|x-4|$ per $x in [1;5]$ è conveniente l'uso delle derivate.
La funzione $y=|x^2-4x|/x$ può essere scritta $y=(|x|*|x-4|)/x$ che in $[1;5]$ diventa $y=(x*|x-4|)/x$ cioè $y=|x-4|$
Non ditemi che per studiare i massimi e i minimi di $y=|x-4|$ per $x in [1;5]$ è conveniente l'uso delle derivate.
Grazie ad Alxxx28 e a @melia per le risposte,comunque a me viene chiesto di trovare il massimo e il minimo nell'intervallo $[1;5]$ usando le derivate, ho provato come mi hai detto Alxxx28 ma non giungo comunque al risultato perchè le derivate ponendole uguali a zero mi viene 1=0 e -1=0 e adesso??? mi sembra illogico questo mio risultato.....
Le derivate della funzione non si annullano mai ma valgono
$1$ quindi funzione crescente per $4<=x<=5 $
e
$-1$ quindi funzione decrescente per $1<=x<=4 $ .
Determina i valori che la funzione assume agli estremi degli intervalli sopra indicati e vedrai che
il max ( di valore $3$ ) è assunto per $x=1$ mentre il minimo (di valore $0$) è assunto per $x= 4$.
Resta vero che il modo più semplice, come dice @melia, è studiare senza far uso della derivate la funzione $y =|x-4| $ che è rappresentata da una spezzata
$1$ quindi funzione crescente per $4<=x<=5 $
e
$-1$ quindi funzione decrescente per $1<=x<=4 $ .
Determina i valori che la funzione assume agli estremi degli intervalli sopra indicati e vedrai che
il max ( di valore $3$ ) è assunto per $x=1$ mentre il minimo (di valore $0$) è assunto per $x= 4$.
Resta vero che il modo più semplice, come dice @melia, è studiare senza far uso della derivate la funzione $y =|x-4| $ che è rappresentata da una spezzata
Ecco grazie a tutti e soprattutto grazie a Camilllo adesso ci sono.
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